§ 10. Определение размеров небесных тел и расстояний до них в Солнечной системе

От тени к размеру Земли

Метод Эратосфена связывает различие направлений отвеса в двух пунктах с углом у центра Земли. Если пункты расположены на одном меридиане, дуга между ними имеет длину l, а соответствующий центральный угол n, то длина меридиана C = 360°·l/n и R = C/(2π).

Лучи далёкого Солнца считаются параллельными. Нужны измеренные углы и расстояние по поверхности. Триангуляция развивает эту идею: известный базис и измеренные углы позволяют строить цепь треугольников. Реальная Земля сплюснута; геоид описывает уровенную поверхность поля тяжести.

Угловое измерение превращается в линейное, если известен хотя бы один масштаб.

Горизонтальный параллакс

При перемещении наблюдателя близкий объект смещается на фоне далёких. Горизонтальный параллакс p — угол, под которым со светила виден земной радиус, перпендикулярный лучу зрения. Для расстояния от центра Земли D = Rзем/sin p.

Для малого угла p в радианах D ≈ Rзем/p. Если p задан в секундах дуги, D ≈ 206265·Rзем/p″. Чем объект дальше, тем меньше параллакс. Не смешивай горизонтальный параллакс с годичным звёздным: у них разные базисы.

Параллакс уменьшается при увеличении расстояния.

Радиолокация и астрономическая единица

Измерим время Δt от отправления сигнала до возвращения отражённого импульса. Сигнал прошёл путь туда и обратно, поэтому D ≈ cΔt/2. Модель предполагает почти постоянное расстояние за время измерения; точная обработка учитывает движение и задержки.

Астрономическая единица — единица длины: 1 а. е. = 149 597 870 700 м точно. Она близка к большой полуоси земной орбиты. Для школьных расчётов используют 149,6 млн км. Радиолокация работает для доступных отражателей, а не как универсальный способ измерения любых далёких звёзд.

Время эха делят на два, а астрономическую единицу не путают со временем.

Угловой размер и истинный диаметр

Угловой размер зависит и от линейного размера, и от расстояния. Для малого углового диаметра θ линейный диаметр d ≈ Dθ, где θ выражен в радианах. В секундах дуги d ≈ Dθ″/206265.

Если дана половина углового диаметра — угловой радиус ρ, — вычисляют R ≈ Dρ. В геометрии касательных к сферическому телу точная связь R = D sin ρ. Луна и Солнце имеют близкие угловые диаметры, хотя их истинные размеры совершенно различны.

Сначала различи радиус и диаметр, затем переведи угол в радианы.

Разберём задачу

Эхо от Луны вернулось через 2,56 с. Найти расстояние.

Сначала выбери физическую связь и условия её применения. Сделай собственный расчёт или объяснение, затем открой разбор.

Показать решение и проверку

D ≈ 300000 км/с · 2,56 с / 2 = 384000 км. Без деления на два получилось бы расстояние всего пути сигнала. Ответ соответствует характерному расстоянию от Земли до Луны, которое меняется вдоль орбиты.

Шесть опорных идей

01Угловое измерение превращается в линейное, если известен хотя бы один масштаб.

02Параллакс уменьшается при увеличении расстояния.

03Время эха делят на два, а астрономическую единицу не путают со временем.

04Сначала различи радиус и диаметр, затем переведи угол в радианы.

05Если протянуть палец и поочерёдно закрывать глаза, его смещение на далёком фоне демонстрирует принцип параллакса.

06Лазерные отражатели на Луне позволяют измерять время прохождения импульса с высокой точностью.

Попробуй теперь ответить своими словами: Как измерить расстояние, до которого нельзя протянуть рулетку?

ПАРАГРАФ 10Определение размеров небесных тел и расстояний до них в Солнечной системе

Измерь расстояние по параллаксу