§ 12. Кодирование числовых данных

Основание b задаёт число допустимых цифр: их значения от 0 до b−1. Разряды целой части справа налево имеют веса 1, b, b² и далее. Поэтому 101₂ = 1*4+0*2+1 = 5₁₀, а 101₁₀ = 101. Нижний индекс обозначает основание, не является частью самого числа.

В шестнадцатеричной системе после 9 используются A, B, C, D, E, F со значениями 10–15. Запись с цифрой, не входящей в алфавит основания, недопустима: 102₂ нельзя переводить как корректное двоичное число. Римская запись относится к непозиционным системам; её правила отличаются от суммирования степеней основания.

Число 2D₁₆ равно 2*16+13=45₁₀. Для 157₈ получаем 1*64+5*8+7=111₁₀. Сначала проверяют допустимость цифр, затем вычисляют каждое слагаемое. Ведущие нули значения не меняют, хотя могут обозначать фиксированную длину кода.

Одинаковое количество записанных цифр не означает равенство чисел при разных основаниях. Чтобы сравнить записи, переводят их к общему значению. Приписывание справа нуля умножает целое число на основание: 101₂ превращается в 1010₂, то есть 5 в 10.

Для перевода 45₁₀ в двоичную систему делим на 2: частные 22,11,5,2,1,0; остатки 1,0,1,1,0,1. Читаем остатки снизу вверх и получаем 101101₂. Деление продолжается до нулевого частного, чтобы не потерять старший разряд.

Остаток всегда меньше основания и становится очередной цифрой. Для исходного нуля результат — запись 0, хотя обычный цикл положительных частных не выполняется. Тренажёр работает с неотрицательными целыми до 65535; отрицательные числа и дробные части требуют дополнительных правил представления.

Для восьмеричной записи группируют биты по три, потому что 8=2³; для шестнадцатеричной — по четыре, потому что 16=2⁴. Группировку целой части начинают справа. Слева при необходимости дописывают нули: 101101₂ = 101 101₂ = 55₈ = 0010 1101₂ = 2D₁₆.

Восемь бит одного байта точно делятся на две группы по четыре. Поэтому байт удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами, например FF₁₆ = 255₁₀. Связь восьмеричной системы с двоичной объясняется группами по три бита, а не тем, что в байте восемь бит.