§ 6. Операции над множествами

Пусть A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}. Тогда A ∩ B = {3, 4}. Числа 1 и 2 входят только в A; число 5 — только в B. В пересечение они не попадают. Проверка принадлежности пересечению связана с логической операцией И.

1. 1. Выберите элемент

   Возьмём число 3.

2. 2. Проверьте A

   3 ∈ A — верно.

3. 3. Проверьте B

   3 ∈ B — верно. Оба условия выполняются, включаем 3.

Для A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} объединение равно {1, 2, 3, 4, 5}. Общие элементы 3 и 4 записываются по одному разу. Принадлежность объединению связана с включительным ИЛИ: элементу разрешается входить сразу в оба множества.

На диаграмме различают три внутренние части: только A, общая часть A и B, только B. Внешняя область содержит рассматриваемые объекты, не попавшие ни в одно множество. Один элемент должен занимать ровно одну из этих областей.

Перестановка названий A и B не меняет их объединение или пересечение. Если B ⊆ A, общие элементы составляют B, а объединение равно A. Для A и пустого множества: A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A.

Если 11 учеников решали задачи по математике, 9 — по физике, 7 — по обоим предметам, то хотя бы по одному предмету решали 11 + 9 − 7 = 13 человек. Только математика: 11 − 7 = 4; только физика: 9 − 7 = 2. Проверка по областям: 4 + 7 + 2 = 13.

Если известно общее количество участников и все входят хотя бы в одну группу, общую часть находят обратным действием. Например, 15 выбрали один вид мороженого, 17 — другой, всего покупателей 24: оба вида выбрали 15 + 17 − 24 = 8 человек.