§ 5. Множества

Множество можно описать общим свойством: «чётные числа от 1 до 10». Его элементы — 2, 4, 6, 8, 10. Множества обычно обозначают большими латинскими буквами, элементы — малыми буквами или конкретными именами. Запись A = {2, 4, 6, 8, 10} перечисляет все элементы A.

Порядок перечисления элементов не меняет множество. Повторение одного элемента не создаёт нового элемента: {2, 4, 4} и {4, 2} описывают одно множество. Количество различных элементов конечного множества называют его мощностью и обозначают |A|.

Чтобы решить, входит ли число в B, проверяют оба требования: оно делится на 3 и находится в указанном диапазоне. Число 9 входит, а 15 не входит, хотя делится на 3. Ограничение диапазона — часть определения множества.

Множества бывают конечными и бесконечными. Букв в заданном алфавите конечное число. Натуральные числа можно продолжать без конца. Бесконечное множество невозможно полностью выписать, поэтому для него особенно важно правило образования элементов.

Для A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и B = {2, 4, 6} верно 2 ∈ A и B ⊆ A. Число 7 не принадлежит A: 7 ∉ A. Для проверки подмножества нужно проверить каждый элемент B. Если хотя бы одного из них нет в A, отношение подмножества не выполняется.

Множество месяцев с 32 днями пусто: ∅. Не путайте ∅ с {0}: во втором множестве есть один элемент — число 0. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество также является своим подмножеством.

Кругами Эйлера изображают группы объектов. Если B ⊆ A, круг B располагают внутри A. Если один ученик занимается и шахматами, и плаванием, он принадлежит двум соответствующим множествам сразу. На диаграмме его располагают в общей области кругов.