§ 23. Моделирование в задаче выбора положения железнодорожной станции

Населённые пункты: A(1;4), B(4;3), C(5;−2), D(8;2), координаты в километрах. Положение станции меняется по железной дороге. От каждого пункта к станции предполагается прямая дорога; рельеф, препятствия и различия стоимости не учитываются.

Знак координаты y показывает сторону железной дороги. Отрицательное y не означает отрицательное расстояние. Для сравнения длин масштаб по обеим координатным осям должен быть одинаковым.

Расстояние до пункта (a;b): √((x−a)²+b²). Складывая четыре расстояния, получаем F(x). Для x=1 сумма примерно 19,9949 км. Минимизация одного расстояния или наибольшего расстояния — другие задачи с другими возможными ответами.

За пределами крайних абсцисс 1 и 8 движение станции к отрезку уменьшает расстояние до каждого пункта. Поэтому для данной задачи достаточно искать на [1;8]. Среднее абсцисс не обязано минимизировать сумму обычных расстояний.

С шагом 0,25 на [1;8] получается (8−1)/0,25+1=29 точек. В каждой строке вычисляют четыре длины и их сумму. Минимальное значение среди этих строк задаёт лучший проверенный вариант, но не обязательно точный минимум непрерывной функции.

Постройте XY-график F(x), найдите область наименьших значений, затем уменьшите шаг вокруг неё. Не заявляйте точность выше той, которую обеспечивает поиск и последующая проверка.

Численное уточнение даёт x≈4,8011 км от начала координат, суммарную длину F≈14,4056 км. Это результат именно для четырёх заданных точек и суммы прямолинейных расстояний. На грубой сетке с шагом 0,25 выбирается x=4,75.

Сравните найденное значение с соседними и крайними точками. Реальное проектирование дополнительно учитывает рельеф, участки земли, существующие дороги и стоимость. Для учебной модели достаточно явно сохранить её критерий и допущения.