ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Почему важен отрезок
На открытом промежутке это неверно: возможная крайняя величина может только приближаться к значению у исключённой границы. Сначала прочитай, включены ли концы.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
y=x на (0;1) не имеет наибольшего значения. На [0;1] наибольшее 1, наименьшее 0.
Маршрут рассуждения
- Почему важен отрезок
Непрерывная на замкнутом отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений.
- Алгоритм на отрезке
Вычисли f на концах и во всех внутренних критических точках, затем сравни результаты.
- Модель прикладной задачи
Вырази искомую величину через одну переменную и укажи допустимый промежуток.
- Проверка и интерпретация
Запиши и оптимальное значение переменной, и полученную величину с единицами.
Главная мысль
Непрерывная на замкнутом отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений.
Алгоритм на отрезке
Если функция не определена или разрывна в части отрезка, сначала уточни область: стандартная гарантия для непрерывной функции неприменима автоматически. Не сравнивай x-координаты вместо значений y.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
f=(x−2)² на [0;3]: кандидаты x=0,2,3; значения 4,0,1. Минимум 0, максимум 4.
Сравнение кандидатов: (x−2)² на [0;3]
| Кандидат x | Почему проверяем | Значение f(x) |
|---|---|---|
| 0 | Левый конец | 4 — наибольшее |
| 2 | f′(2)=0 | 0 — наименьшее |
| 3 | Правый конец | 1 |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Вычисли f на концах и во всех внутренних критических точках, затем сравни результаты.
Модель прикладной задачи
Ограничения появляются из смысла: длины положительны, количество целое, время неотрицательно. Если допустимы только целые значения, проверь допустимые целые числа у критических точек и границ; при небольшом наборе сравни все варианты.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Прямоугольник периметра 20: стороны x и 10−x, S=x(10−x), 0<x<10. Максимум при x=5, площадь 25.
Подумай и объясни
При фиксированном периметре наибольшая площадь у…
Сверить рассуждение
Квадрата. Вырази искомую величину через одну переменную и укажи допустимый промежуток.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Вырази искомую величину через одну переменную и укажи допустимый промежуток.
Проверка и интерпретация
Убедись, что кандидат принадлежит допустимой области и даёт нужный максимум или минимум. Если реальная задача исключает границу, нельзя объявить её достигнутым ответом.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для предыдущего прямоугольника ответ: стороны 5 и 5, площадь 25 квадратных единиц. Число 5 не является ответом на вопрос о площади.
Разберём ошибку
Неверно Что нужно вернуть в условие задачи? — Только производную
Запиши и оптимальное значение переменной, и полученную величину с единицами.
Как рассуждать: Верный ответ: И аргумент, и значение с их смыслом.
Главная мысль
Запиши и оптимальное значение переменной, и полученную величину с единицами.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Непрерывная на замкнутом отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений.
Вычисли f на концах и во всех внутренних критических точках, затем сравни результаты.
Вырази искомую величину через одну переменную и укажи допустимый промежуток.
Запиши и оптимальное значение переменной, и полученную величину с единицами.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.