ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Критические точки
Кандидата нужно проверить. У дифференцируемой функции во внутренней точке экстремума производная равна нулю, но обратное утверждение неверно.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
У x³ производная ноль при x=0, однако функция растёт с обеих сторон: экстремума нет.
Маршрут рассуждения
- Критические точки
Внутренняя точка области, где f′=0 или производная не существует, может быть точкой экстремума.
- Смена знака
Если функция непрерывна в рассматриваемой точке, переход f′ из + в − даёт максимум, из − в + — минимум.
- План исследования
Область → симметрия и нули → производная → знаки → экстремумы → эскиз.
- Локальное и глобальное
Локальный максимум сравнивается с близкими точками; он не обязательно наибольшее значение на всей области.
Главная мысль
Внутренняя точка области, где f′=0 или производная не существует, может быть точкой экстремума.
Смена знака
Непрерывность означает, что значение в точке согласуется с приближением с обеих сторон. Без неё одной смены знака производной недостаточно. Сравни движение слева и справа. При отсутствии смены знака производной в стационарной точке локального экстремума может не быть. Значение экстремума — y, а точка по аргументу — x.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
f=x³−3x: f′=3(x−1)(x+1). В x=−1 максимум f=2; в x=1 минимум f=−2.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Если функция непрерывна в рассматриваемой точке, переход f′ из + в − даёт максимум, из − в + — минимум.
План исследования
Не рисуй разрывы как соединённые ветви. Координаты экстремумов вычисляй в исходной функции. Для рациональной функции учитывай асимптоты и исключённые аргументы.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
У f=x+1/x ноль запрещён; f′=1−1/x². Исследование разбивается точками −1,0,1, причём 0 не является точкой экстремума.
Подумай и объясни
Запрещённая точка может быть точкой экстремума функции?
Сверить рассуждение
Нет. Область → симметрия и нули → производная → знаки → экстремумы → эскиз.
Знаки около критической точки непрерывной функции
| Слева | Справа | Вывод |
|---|---|---|
| + | − | Локальный максимум |
| − | + | Локальный минимум |
| + | + | Нет экстремума |
| − | − | Нет экстремума |
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Область → симметрия и нули → производная → знаки → экстремумы → эскиз.
Локальное и глобальное
Кубическая функция может иметь локальный максимум и при этом не иметь наибольшего значения. Поэтому слово «максимум» в исследовании и задача о наибольшем значении требуют уточнения области сравнения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
У x³−3x локальный максимум 2, но при x→+∞ значения неограниченно растут.
Разберём ошибку
Неверно Локальный максимум всегда наибольший на ℝ? — Да
Локальный максимум сравнивается с близкими точками; он не обязательно наибольшее значение на всей области.
Как рассуждать: Верный ответ: Нет.
Главная мысль
Локальный максимум сравнивается с близкими точками; он не обязательно наибольшее значение на всей области.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Внутренняя точка области, где f′=0 или производная не существует, может быть точкой экстремума.
Если функция непрерывна в рассматриваемой точке, переход f′ из + в − даёт максимум, из − в + — минимум.
Область → симметрия и нули → производная → знаки → экстремумы → эскиз.
Локальный максимум сравнивается с близкими точками; он не обязательно наибольшее значение на всей области.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.