§ 14. Применение векторов и координат — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Векторы в задачах на отношения

В ряде задач условие содержит сведения о параллельности прямых, об их точках пересечения, об отношениях длин параллельных отрезков. Для таких задач удобно применять векторы, как в примере 2 из § 12: достаточно сложения векторов и умножения вектора на число.

Как решать

Выбрать векторы
Выбираем точку O или три некомпланарных вектора (например, рёбра пирамиды из одной вершины).
Выразить
Выражаем через них нужные векторы; коллинеарность записываем как $\vec{M P}$ = t $\vec{A B}$ , компланарность — как $\vec{M P}$ = x $\vec{a}$ + y $\vec{b}$ .
Сравнить коэффициенты
Разложение по трём некомпланарным векторам единственно (теорема 1 § 12), поэтому коэффициенты при одинаковых векторах равны — получаем уравнения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО С ВЕКТОРАМИ

Пример 1 учебника

A₁B₁C₁D₁ и A₂B₂C₂D₂ — параллелограммы в пространстве; K, L, M, N — середины отрезков A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, D₁D₂. Докажем, что середины отрезков KM и LN совпадают.

$\vec{O K}$ = 12( $\vec{O A_{1}}$ + $\vec{O A_{2}}$ ), $\vec{O L}$ = 12( $\vec{O B_{1}}$ + $\vec{O B_{2}}$ ) и т. д. Тогда $\vec{K L}$ = 12( $\vec{A_{1} B_{1}}$ + $\vec{A_{2} B_{2}}$ ), $\vec{N M}$ = 12( $\vec{D_{1} C_{1}}$ + $\vec{D_{2} C_{2}}$ ).

Так как $\vec{A_{1} B_{1}}$ = $\vec{D_{1} C_{1}}$ и $\vec{A_{2} B_{2}}$ = $\vec{D_{2} C_{2}}$ , получаем $\vec{K L}$ = $\vec{N M}$ , а это и означает, что середины отрезков KM и LN совпадают.

ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ

Если X — середина AB, то $\vec{O X}$ = 12( $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ ). Если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то $\vec{O M}$ = 13( $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ + $\vec{O C}$ ) (№ 399).

Подумай и объясни

Почему отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер треугольной пирамиды ABCD, пересекаются в одной точке (№ 461)?

Сверить рассуждение

Середина отрезка, соединяющего середины AB и CD, задаётся вектором 12(12( $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ ) + 12( $\vec{O C}$ + $\vec{O D}$ )) = 14( $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ + $\vec{O C}$ + $\vec{O D}$ ). Для двух других пар рёбер получается то же выражение — значит, все три отрезка проходят через одну точку и делятся ею пополам.

Главная мысль

Для задач о параллельности, точках пересечения и отношениях достаточно сложения векторов, умножения на число и единственности разложения по трём некомпланарным векторам.

Угол между прямыми

Скалярное произведение удобно в задачах, где нужно использовать или находить расстояния и углы.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ параллельны данным прямым, то угол φ между прямыми совпадает с углом между векторами или дополняет его до 180°. Поэтому cos φ = | $\vec{a}$ · $\vec{b}$ || $\vec{a}$ | · | $\vec{b}$ |.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Скрещивающиеся диагонали граней куба

Возьмём A за начало координат, рёбра куба — единицы:

\vec{A B_{1}}

(1; 0; 1),

\vec{B C_{1}}

(0; 1; 1), cos φ = 1√2 · √2 = 12, φ = 60°.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Пример 2 учебника

Найдём угол между скрещивающимися диагоналями AB₁ и BC₁ соседних боковых граней правильной шестиугольной призмы, боковые грани которой — квадраты (ребро a).

$\vec{A B_{1}}$ = $\vec{B B_{1}}$ − $\vec{B A}$ , $\vec{B C_{1}}$ = $\vec{B C}$ + $\vec{B B_{1}}$ . $\vec{A B_{1}}$ · $\vec{B C_{1}}$ = a² cos 90° + a² cos 0° − a² cos 120° − a² cos 90° = 1,5a².

| $\vec{A B_{1}}$ | = | $\vec{B C_{1}}$ | = a√2, поэтому cos φ = 1,5a²2a² = 34. Ответ: arccos 34.

ИССЛЕДУЙ САМ

Угол между прямыми в параллелепипеде

Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

cos φ = | $\vec{a}$ · $\vec{b}$ || $\vec{a}$ | · | $\vec{b}$ |, где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ параллельны прямым: модуль нужен, потому что угол между прямыми не больше 90°.

Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Используют векторы $\vec{N_{1}}$ и $\vec{N_{2}}$ , перпендикулярные плоскостям: cos φ = | $\vec{N_{1}}$ · $\vec{N_{2}}$ || $\vec{N_{1}}$ | · | $\vec{N_{2}}$ |. Векторы находят из условий вида $\vec{N_{1}}$ · $\vec{A C}$ = 0, $\vec{N_{1}}$ · $\vec{A E_{1}}$ = 0 или прямо из уравнения плоскости.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Берут вектор $\vec{a}$ , параллельный прямой, и вектор $\vec{N}$ , перпендикулярный плоскости. Угол β между ними и угол α между прямой и плоскостью связаны равенством sin α = |cos β|.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Прямая, плоскость и нормальный вектор

Угол α между прямой l и плоскостью и угол β между векторами

\vec{a}

\vec{N}

в сумме дают 90° (если β тупой, то β − α = 90°) — отсюда sin α = |cos β| (рис. 372 учебника).

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Пример 3 учебника

У правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1. Найдём угол между плоскостями ACE₁ и A₁BD.

Начало координат — центр основания, A(1; 0; 0), A₁(1; 0; 1), B(12; √32; 0). Из условий перпендикулярности получаем $\vec{N_{1}}$ (1; √3; 3) ⊥ ACE₁ и $\vec{N_{2}}$ (−1; √3; 2) ⊥ A₁BD.

$\vec{N_{1}}$ · $\vec{N_{2}}$ = −1 + 3 + 6 = 8, | $\vec{N_{1}}$ | = √13, | $\vec{N_{2}}$ | = 2√2; cos φ = 8√13 · 2√2 = 4√26. Ответ: arccos 4√26.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

Угол между плоскостями: cos φ = | $\vec{N_{1}}$ · $\vec{N_{2}}$ || $\vec{N_{1}}$ | · | $\vec{N_{2}}$ |; угол между прямой и плоскостью: sin α = |cos β|.

Расстояния

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ

Расстояние от точки E до прямой KL равно высоте треугольника KLE: d = 2SKL, где 2S = √( $\vec{K L}$ ² · $\vec{K E}$ ² − ( $\vec{K L}$ · $\vec{K E}$ )²) (формула № 443: 2S = KL · KE · sin K и sin² K = 1 − cos² K).

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Его можно найти как расстояние от какой-либо точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой. Вектор $\vec{N}$ , перпендикулярный этой плоскости, перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых.

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Скрещивающиеся прямые BP и KD₁

AB = 5, BC = 4, AA₁ = 4; AK : KB = 4 : 1, AP : PA₁ = 3 : 1 (рис. 375 учебника).

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Пример 6 учебника

Найдём расстояние d между прямыми BP и KD₁ в прямоугольном параллелепипеде на рисунке.

Оси — по рёбрам: A(0; 0; 0), B(0; 5; 0), D(4; 0; 0), D₁(4; 0; 4), K(0; 4; 0), P(0; 0; 3). $\vec{B P}$ (0; −5; 3), $\vec{K D_{1}}$ (4; −4; 4); вектор $\vec{N}$ (−2; 3; 5) перпендикулярен обоим.

Плоскость β через BP параллельно KD₁: −2x + 3y + 5(z − 3) = 0. Расстояние от K(0; 4; 0): d = |−2 · 0 + 3 · 4 + 5 · 0 − 15|√(4 + 9 + 25) = 3√38.

Частая ошибка

Неверно «cos α = −1/2, значит, угол между прямыми 120°».

Как рассуждать: Угол между прямыми — от 0° до 90°. В формуле берут модуль: cos φ = 1/2, φ = 60°. То же для угла между плоскостями.

Главная мысль

Расстояние от точки до прямой — высота треугольника: d = 2SKL; расстояние между скрещивающимися прямыми — расстояние от точки одной прямой до плоскости через другую прямую, параллельной первой.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа — упражнения учебника, номер указан в условии. Решай в тетради, затем введи ответ: угол — в градусах, отношение — числом t, дробь — как 3/4. Если ответ содержит корень, введи квадрат или косинус, как сказано в условии.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

Тренажёр

Какие векторы нужны?

Определи, какие векторы понадобятся, чтобы найти угол в задаче.

Думай как математик

Рассуждаем, выбирая метод

Сначала порассуждай сам, потом сверь с образцом.

Ученик нашёл: cos α = a · b : (|a| · |b|) = −12 для направляющих векторов прямых и записал: «угол между прямыми 120°». Найдите ошибку.

Сверить рассуждение

120° — угол между векторами. Угол между прямыми не больше 90°: он равен углу между векторами или дополняет его до 180°. Нужно брать модуль: cos φ = |−12| = 12, φ = 60°.

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольной пирамиды ABCD с точками пересечения медиан противоположных граней, проходят через одну точку и делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершины (№ 409).

Сверить рассуждение

Пусть O — любая точка, M — точка пересечения медиан грани ABC: OM = 13·(OA + OB + OC). Точка X отрезка DM с DX : XM = 3 : 1: OX = 14·OD + 34·OM = 14·(OA + OB + OC + OD). Выражение симметрично относительно вершин, значит, для каждого из четырёх отрезков получается одна и та же точка X.

Почему расстояние между скрещивающимися прямыми a и b равно расстоянию от любой точки прямой b до плоскости β, проходящей через a параллельно b?

Сверить рассуждение

Прямая b параллельна плоскости β, поэтому все её точки удалены от β на одно и то же расстояние h. Общий перпендикуляр прямых a и b перпендикулярен β, и его длина тоже равна h. Любой другой отрезок между точками прямых не короче h, так как расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, а отрезок с концом в β не короче перпендикуляра.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

В задачах на отношения выражаем векторы через три некомпланарных и приравниваем коэффициенты — разложение единственно.

Угол между прямыми: cos φ = | $\vec{a}$ · $\vec{b}$ || $\vec{a}$ | · | $\vec{b}$ | для векторов, параллельных прямым.

Угол между плоскостями — через перпендикулярные им векторы: cos φ = | $\vec{N_{1}}$ · $\vec{N_{2}}$ || $\vec{N_{1}}$ | · | $\vec{N_{2}}$ |.

Угол между прямой и плоскостью: sin α = |cos β|, где β — угол между направляющим вектором прямой и вектором, перпендикулярным плоскости.

Расстояние от точки до прямой — высота треугольника; 2S = √( $\vec{K L}$ ² · $\vec{K E}$ ² − ( $\vec{K L}$ · $\vec{K E}$ )²).

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки одной из них до плоскости, проходящей через другую параллельно первой.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.