§ 13. Скалярное произведение векторов — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Скалярное произведение и его свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Скалярным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число $\vec{a}$ · $\vec{b}$ , равное произведению длин этих векторов на косинус угла α между ними: $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = | $\vec{a}$ | · | $\vec{b}$ | · cos α.

Свойства скалярного произведения

Свойство	Запись
переместительное	$\vec{a}$ · $\vec{b}$ = $\vec{b}$ · $\vec{a}$
распределительное	$\vec{a}$ · ( $\vec{b}$ + $\vec{c}$ ) = $\vec{a}$ · $\vec{b}$ + $\vec{a}$ · $\vec{c}$
вынесение множителя	(k $\vec{a}$ ) · $\vec{b}$ = k( $\vec{a}$ · $\vec{b}$ )
длина	\| $\vec{a}$ \|² = $\vec{a}$ · $\vec{a}$
угол	cos α = $\vec{a}$ · $\vec{b}$ \| $\vec{a}$ \| · \| $\vec{b}$ \|

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Угол между векторами

Векторы

\vec{a}

\vec{O A}

\vec{b}

\vec{O B}

отложены от одной точки. Если α острый,

\vec{a}

\vec{b}

> 0; если тупой —

\vec{a}

\vec{b}

< 0.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ

У нулевого вектора направление не определено, поэтому удобно считать, что нулевой вектор перпендикулярен любому вектору. С учётом этого: два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Скалярное произведение по определению

| $\vec{a}$ | = 2, | $\vec{b}$ | = 3, угол между векторами 60°: $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = 2 · 3 · cos 60° = 3.

При угле 120° получили бы 2 · 3 · (−12) = −3, при угле 90° — ноль.

Подумай и объясни

Каков знак $\vec{a}$ · $\vec{b}$ , если угол между ненулевыми векторами острый? тупой?

Сверить рассуждение

Длины положительны, поэтому знак произведения совпадает со знаком cos α: при остром угле $\vec{a}$ · $\vec{b}$ > 0, при тупом $\vec{a}$ · $\vec{b}$ < 0.

Главная мысль

$\vec{a}$ · $\vec{b}$ = | $\vec{a}$ | · | $\vec{b}$ | · cos α — число; векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение в координатах

ТЕОРЕМА 1

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ (x_a; y_a; z_a) и $\vec{b}$ (x_b; y_b; z_b) в декартовой системе координат выражается равенством $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b.

Доказательство

Разложим векторы
$\vec{a}$ = x_a $\vec{i}$ + y_a $\vec{j}$ + z_a $\vec{k}$ , $\vec{b}$ = x_b $\vec{i}$ + y_b $\vec{j}$ + z_b $\vec{k}$ . Перемножим по распределительному свойству — получим девять слагаемых вида x_ax_b( $\vec{i}$ · $\vec{i}$ ), x_ay_b( $\vec{i}$ · $\vec{j}$ ), …
Произведения координатных векторов
$\vec{i}$ · $\vec{i}$ = 1 · 1 · cos 0 = 1, $\vec{i}$ · $\vec{j}$ = 1 · 1 · cos 90° = 0. Аналогично $\vec{j}$ · $\vec{j}$ = $\vec{k}$ · $\vec{k}$ = 1, $\vec{i}$ · $\vec{k}$ = $\vec{j}$ · $\vec{k}$ = 0.
Итог
Остаются три слагаемых: $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Длина и угол по координатам (примеры 1, 2 учебника)

Длина вектора $\vec{a}$ (2; 1; −2): | $\vec{a}$ |² = $\vec{a}$ · $\vec{a}$ = 2 · 2 + 1 · 1 + (−2) · (−2) = 9, | $\vec{a}$ | = 3.

Угол между $\vec{a}$ (4; 1; −3) и $\vec{b}$ (2; −5; 1): $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = 8 − 5 − 3 = 0, значит, cos α = 0 и α = 90°.

В координатах: cos α = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b√(x_a² + y_a² + z_a²) · √(x_b² + y_b² + z_b²). Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, если x_ax_b + y_ay_b + z_az_b = 0.

ИССЛЕДУЙ САМ

Скалярное произведение и угол между векторами

Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

$\vec{a}$ · $\vec{b}$ = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b; | $\vec{a}$ | = √(x_a² + y_a² + z_a²).

Уравнение плоскости

Плоскость можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой. Так как через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, плоскость можно задать и одной её точкой и вектором, ей перпендикулярным.

ТЕОРЕМА 2

Если плоскость проходит через точку M₀(x₀; y₀; z₀) перпендикулярно ненулевому вектору $\vec{N}$ (a; b; c), то координаты (x; y; z) любой точки M этой плоскости удовлетворяют уравнению a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0.

Доказательство: векторы $\vec{M_{0} M}$ (x − x₀; y − y₀; z − z₀) и $\vec{N}$ перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю.

ТЕОРЕМА 3

Уравнению ax + by + cz + d = 0, в котором a, b, c не равны нулю одновременно, удовлетворяют точки некоторой плоскости, и только они. Этой плоскости перпендикулярен вектор $\vec{N}$ (a; b; c).

Доказательство: найдём одно решение (x₀; y₀; z₀) — например, при a ≠ 0 выберем y₀, z₀ и найдём x₀. Тогда ax₀ + by₀ + cz₀ + d = 0, и данное уравнение равносильно уравнению a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0 плоскости через M₀ перпендикулярно $\vec{N}$ .

ПОСМОТРИ НА ЧЕРТЁЖ

Нормальный вектор плоскости

Вектор

\vec{N}

перпендикулярен плоскости α, а значит, и любому вектору, лежащему в ней, например

\vec{M_{1} M}

. M₀M₁ — перпендикуляр из точки M₀ к плоскости; его длина — расстояние от M₀ до α (теорема 4).

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Подумай и объясни

Какой вектор перпендикулярен плоскости x + y + 2z = 9 и лежит ли в ней точка B(4; 1; 2)?

Сверить рассуждение

Запишем x + y + 2z − 9 = 0: по теореме 3 плоскости перпендикулярен $\vec{N}$ (1; 1; 2). Для B: 4 + 1 + 2 · 2 = 9 — точка лежит в плоскости (это плоскость ABC из примера 4).

Главная мысль

Плоскость через M₀(x₀; y₀; z₀) перпендикулярно $\vec{N}$ (a; b; c): a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0; уравнению ax + by + cz + d = 0 соответствует плоскость, перпендикулярная $\vec{N}$ (a; b; c).

Расстояние от точки до плоскости

ТЕОРЕМА 4

Если плоскость имеет уравнение ax + by + cz + d = 0, то расстояние до неё от точки M₀(x₀; y₀; z₀) равно |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|√(a² + b² + c²).

Доказательство

Перпендикуляр
Опустим из M₀ перпендикуляр M₀M₁ на плоскость, M₁(x₁; y₁; z₁). Вектор $\vec{M_{0} M_{1}}$ коллинеарен $\vec{N}$ (a; b; c), угол между ними 0° или 180°, поэтому $\vec{M_{0} M_{1}}$ · $\vec{N}$ = ±| $\vec{M_{0} M_{1}}$ | · | $\vec{N}$ |.
Скалярное произведение
$\vec{M_{0} M_{1}}$ · $\vec{N}$ = a(x₁ − x₀) + b(y₁ − y₀) + c(z₁ − z₀) = −(ax₀ + by₀ + cz₀ + d), так как ax₁ + by₁ + cz₁ = −d (точка M₁ лежит в плоскости).
Расстояние
Расстояние равно | $\vec{M_{0} M_{1}}$ | = | $\vec{M_{0} M_{1}}$ · $\vec{N}$ | : | $\vec{N}$ |, а | $\vec{N}$ | = √(a² + b² + c²).

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Пример 5 учебника

Найдём расстояние от точки A(2; −1; −3) до плоскости x + 2y + 2z − 9 = 0.

d = |2 + 2 · (−1) + 2 · (−3) − 9|√(1² + 2² + 2²) = 153 = 5. Ответ: 5.

Частая ошибка

Неверно d = ax₀ + by₀ + cz₀ + da² + b² + c² — забыт модуль и корень в знаменателе.

Как рассуждать: В числителе — модуль (расстояние не бывает отрицательным), в знаменателе — длина нормального вектора √(a² + b² + c²). В примере 5 неверная формула дала бы −15/9 вместо 5.

Главная мысль

Расстояние от M₀(x₀; y₀; z₀) до плоскости ax + by + cz + d = 0 равно |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|√(a² + b² + c²).

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа — упражнения учебника, номер указан в условии. Решай в тетради, затем введи ответ: угол — в градусах, дробь — как 3/4. Если ответ содержит корень, введи то, что спрашивается в условии (коэффициент или квадрат).

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

Тренажёр

Какой угол между векторами?

Найди знак скалярного произведения и определи вид угла между ненулевыми векторами.

Думай как математик

Рассуждаем со скалярным произведением

Сначала порассуждай сам, потом сверь с образцом.

Докажите, что для любых точек A, B, C, D пространства AB · CD + BC · AD = AC · BD (скалярные произведения векторов; № 450).

Сверить рассуждение

Обозначим a = DA, b = DB, c = DC. Тогда AB = b − a, CD = −c, BC = c − b, AD = −a, AC = c − a, BD = −b. Левая часть: −(b − a) · c − (c − b) · a = −b · c + a · c − c · a + b · a = a · b − b · c. Правая часть: −(c − a) · b = a · b − b · c. Части равны.

Ученик пишет: «a · b = a · c, значит, b = c». Верно ли это?

Сверить рассуждение

Нет. Равенство означает a · (b − c) = 0, т. е. вектор b − c перпендикулярен a (или нулевой). Пример: a(1; 0; 0), b(0; 1; 0), c(0; 2; 5): a · b = a · c = 0, но b ≠ c. «Сокращать» на вектор нельзя.

Почему |a · b| ≤ |a| · |b|? Когда достигается равенство?

Сверить рассуждение

a · b = |a| · |b| · cos α, а |cos α| ≤ 1, поэтому |a · b| ≤ |a| · |b|. Равенство — при cos α = ±1, т. е. когда векторы коллинеарны (α = 0° или 180°) или один из них нулевой.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

$\vec{a}$ · $\vec{b}$ = | $\vec{a}$ | · | $\vec{b}$ | · cos α; результат — число, а | $\vec{a}$ |² = $\vec{a}$ · $\vec{a}$ .

В координатах $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b; cos α = $\vec{a}$ · $\vec{b}$ | $\vec{a}$ | · | $\vec{b}$ |.

Плоскость через M₀(x₀; y₀; z₀) перпендикулярно $\vec{N}$ (a; b; c): a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0.

Расстояние от точки до плоскости ax + by + cz + d = 0: |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|√(a² + b² + c²).

Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю; знак $\vec{a}$ · $\vec{b}$ показывает, острый угол или тупой.

Уравнение ax + by + cz + d = 0 задаёт плоскость, перпендикулярную вектору $\vec{N}$ (a; b; c); через три точки плоскость находят, подбирая $\vec{N}$ ⊥ $\vec{A B}$ , $\vec{N}$ ⊥ $\vec{A C}$ .

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.