ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Рациональный показатель
Сначала можно извлечь корень, а затем возвести в степень. Положительное основание позволяет согласовать разные записи одной дроби. Отрицательные основания здесь не включаем в общее определение.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
27^(23)=(³√27)²=9. Показатель 23 означает корень третьей степени и квадрат, а не деление 27 на 3.
Почему определение не зависит от записи дроби
Дроби 12 и 24 равны, поэтому новая операция должна давать одинаковый результат. При положительном a числа √a и ⁴√(a²) совпадают: оба положительны, а их четвёртая степень равна a². Для a<0 это рассуждение ломается: √a не является действительным числом, хотя ⁴√(a²) существует. Именно поэтому положительное основание входит в общее определение рациональной степени.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
16^(12)=4 и 16^(24)=4. Попытка подставить −16 в эти две записи даёт разную допустимость и не может служить определением одной операции.
Маршрут рассуждения
- Рациональный показатель
Для a>0: a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ), где m — целое, n — натуральное.
- Нулевой и отрицательный показатели
При a>0: a⁰=1, a^(−r)=1/aʳ.
- Свойства степеней
При положительных основаниях: aʳaˢ=a^(r+s), aʳ/aˢ=a^(r−s), (aʳ)ˢ=a^(rs).
- Действительный показатель
Степень положительного числа с иррациональным показателем определяют через приближения рациональными показателями.
Главная мысль
Для a>0: a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ), где m — целое, n — натуральное.
Нулевой и отрицательный показатели
Минус у показателя требует обратного числа и не делает результат отрицательным. Нуль можно возводить в положительную степень, но 0⁰ и отрицательные степени нуля не определены.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
4^(−12)=1/√4=12. Число −√4 равно −2: это другое выражение.
Три похожие записи с разным смыслом
Различай −aʳ, a^(−r) и (−a)ʳ. В первой записи знак меняет уже вычисленный результат. Во второй берётся обратное число. В третьей отрицательным становится основание и нужно отдельно проверять смысл степени. Если используешь отрицательный показатель, ненулевое основание обязательно. При переходе к дроби скобки должны охватывать всю положительную степень.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
Для a=9,r=12: −9^(12)=−3, 9^(−12)=13. Выражение (−9)^(12) в действительных числах не определено.
Читаем показатель по частям
| Запись | Смысл | Пример |
|---|---|---|
| a^(1/n) | Корень n-й степени | 8^(13)=2 |
| a^(m/n) | Корень, затем степень m | 8^(23)=4 |
| a^(−r) | Обратная величина | 4^(−12)=12 |
| a⁰ | Единица при a>0 | 7⁰=1 |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При a>0: a⁰=1, a^(−r)=1/aʳ.
Свойства степеней
В произведении складываются показатели только одинаковых оснований. Степень произведения распределяется по множителям; степень суммы так не раскрывается.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
8^(13)·8^(23)=8¹=8, а 8^(13)+8^(23)=2+4=6.
Сокращаем показатели до вычисления
Действия со степенями часто позволяют избежать больших чисел и приближений. Сначала проверь основания, затем используй общую основу и точные дроби для показателей. Деление вычитает показатели, степень степени перемножает. Общий множитель и сумма слагаемых требуют разных действий: aʳ+aˢ обычно нельзя заменить одной степенью.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
(32^(35)·32^(15))/32^(25)=32^(25)=(⁵√32)²=4. Все вычисления точные, калькулятор не нужен.
Подумай и объясни
При умножении степеней одного основания показатели…
Сверить рассуждение
Складываются. При положительных основаниях: aʳaˢ=a^(r+s), aʳ/aˢ=a^(r−s), (aʳ)ˢ=a^(rs).
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При положительных основаниях: aʳaˢ=a^(r+s), aʳ/aˢ=a^(r−s), (aʳ)ˢ=a^(rs).
Действительный показатель
Значения a^1,4; a^1,41; a^1,414 приближают a^√2. Привычные свойства степеней сохраняются. Особое основание 1 всегда даёт 1.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
2^√2 находится между 2¹=2 и 2²=4, поскольку 1<√2<2 и основание 2 больше 1.
Оценка результата и монотонность по показателю
Если a>1, увеличение показателя увеличивает степень; если 0<a<1, уменьшает. Это помогает проверять знак и порядок величины ещё до вычислений. Действительная степень положительного основания всегда положительна. Иррациональный показатель сам по себе не делает результат иррациональным: например, 1^√2=1. Приближение показателя даёт приближение ответа, а не точное равенство.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
Так как 1<√2<2, то 2<2^√2<4. Для основания 12 направление меняется: 14<(12)^√2<12.
Разберём ошибку
Неверно Какое основание допускается для общей действительной степени? — Любое отрицательное
Степень положительного числа с иррациональным показателем определяют через приближения рациональными показателями.
Как рассуждать: Верный ответ: Положительное.
Главная мысль
Степень положительного числа с иррациональным показателем определяют через приближения рациональными показателями.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для a>0: a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ), где m — целое, n — натуральное.
При a>0: a⁰=1, a^(−r)=1/aʳ.
При положительных основаниях: aʳaˢ=a^(r+s), aʳ/aˢ=a^(r−s), (aʳ)ˢ=a^(rs).
Степень положительного числа с иррациональным показателем определяют через приближения рациональными показателями.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.