ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Сначала область определения
У конкретных целых или некоторых дробных показателей область может расширяться. Поэтому свойства функции нужно связывать с показателем и выбранной областью.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
x² существует при всех x; x^(12)=√x — при x≥0; x⁻¹ — при x≠0.
Область — часть определения функции
Одинаковая формула на разных областях задаёт разные функции. Для произвольного действительного α удобно начинать с x>0. Затем отдельно исследуют специальные показатели: целое число, дробь с нечётным знаменателем, положительный показатель при x=0. Не используй калькулятор как определение области: округлённый показатель не хранит точной информации о знаменателе дроби.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
x^(23) можно определить как (³√x)² и на отрицательных x. При x=−8 значение 4. Но запись x^0,6667 задаёт другой показатель и не заменяет 23.
Маршрут рассуждения
- Сначала область определения
Для произвольного действительного α рассматриваем xᵅ при x>0. При α>0 можно добавить x=0.
- Положительный показатель
При α>0 функция xᵅ возрастает на положительной полуоси и проходит через (1;1).
- Отрицательный и нулевой показатели
При α<0 функция xᵅ убывает на x>0; при α=0 равна 1.
- Продолжение на отрицательные аргументы
Для целого чётного показателя график симметричен оси y, для целого нечётного — началу координат.
Главная мысль
Для произвольного действительного α рассматриваем xᵅ при x>0. При α>0 можно добавить x=0.
Положительный показатель
Если 0<x<1, больший показатель даёт меньший результат. Если x>1, больший показатель даёт больший результат. Точка (1;1) общая для всех показателей.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
При x=2: x³>x². При x=12: x³=18<x²=14.
Почему графики меняются местами около единицы
Для x>1 дополнительное умножение на x увеличивает число, а для 0<x<1 уменьшает. Поэтому сравнение xᵖ и xᑫ при p>q зависит от того, по какую сторону единицы лежит x. Точки (0;0), когда они допустимы, и (1;1) полезны при эскизе, но двух точек недостаточно для вывода обо всём графике.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
При x=4: x^(12)=2<x²=16. При x=14: x^(12)=12>x²=116. Графики встречаются при x=1.
Одна область x>0 — три поведения
| Показатель | Поведение | Пример |
|---|---|---|
| α>0 | Возрастает | x², √x |
| α=0 | Постоянна | x⁰=1 |
| α<0 | Убывает | 1/x, 1/x² |
| Любое α | Проходит через (1;1) | 1ᵅ=1 |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При α>0 функция xᵅ возрастает на положительной полуоси и проходит через (1;1).
Отрицательный и нулевой показатели
Отрицательная степень — обратная величина. При приближении x к нулю справа значения неограниченно растут, при росте x стремятся к нулю. Ноль в область не входит.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
x⁻²=1/x²: при x=1,2,4 значения 1,14,116.
Поведение у нуля не означает значение в нуле
У отрицательного показателя xᵅ не определено при x=0. При x→0 справа значения могут расти без ограничения, но знак бесконечности не является значением функции в точке. При α=0 на положительной полуоси получается горизонтальная прямая y=1. Её поведение надо рассматривать отдельно от случая α<0.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
У y=1/x значения при x=1,110,1100 равны 1,10,100. В нуле значения нет. У y=x⁰ при тех же аргументах каждый раз 1.
Подумай и объясни
Как ведёт себя x⁻² на x>0?
Сверить рассуждение
Убывает. При α<0 функция xᵅ убывает на x>0; при α=0 равна 1.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При α<0 функция xᵅ убывает на x>0; при α=0 равна 1.
Продолжение на отрицательные аргументы
Это утверждение относится к расширенной симметричной области. Нельзя назвать чётной функцию с областью только x>0. Для отрицательных целых показателей дополнительно исключают ноль.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
x⁻² чётная на ℝ без нуля, x⁻³ нечётная на той же области.
Схема исследования конкретной степени
Укажи показатель точно, найди область, затем реши вопрос о симметрии, знаке и монотонности на каждой части области. У нечётного отрицательного целого показателя есть две ветви, и функция не определена в нуле. Нельзя объявлять её возрастающей или убывающей на объединении промежутков только потому, что каждая отдельная ветвь ведёт себя одинаково.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Ещё один разбор
y=1/x³ нечётная и убывает на (−∞;0) и (0;+∞). Однако при −1<1 значения −1 и 1 показывают, что на всей области как на одном множестве убывания нет.
Разберём ошибку
Неверно Какова симметрия y=x⁻³ на x≠0? — Относительно оси y
Для целого чётного показателя график симметричен оси y, для целого нечётного — началу координат.
Как рассуждать: Верный ответ: Относительно начала координат.
Главная мысль
Для целого чётного показателя график симметричен оси y, для целого нечётного — началу координат.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для произвольного действительного α рассматриваем xᵅ при x>0. При α>0 можно добавить x=0.
При α>0 функция xᵅ возрастает на положительной полуоси и проходит через (1;1).
При α<0 функция xᵅ убывает на x>0; при α=0 равна 1.
Для целого чётного показателя график симметричен оси y, для целого нечётного — началу координат.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.