ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Геометрические места точек
Точки плоскости на заданном расстоянии r>0 от точки O этой плоскости образуют окружность; в пространстве это сфера. Точки плоскости, равноудалённые от двух различных точек A и B, образуют серединный перпендикуляр; в пространстве — плоскость. Внутри угла равноудалённые от сторон точки лежат на биссектрисе. Для двух пересекающихся прямых нужны две взаимно перпендикулярные биссектрисы. Условие прямого угла AMB задаёт окружность диаметра AB без концов A,B.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Чтобы найти M с MA=MB и OM=r, пересекают серединный перпендикуляр AB с окружностью центра O. Возможны 0,1 или 2 общие точки.
Одинаковые расстояния: прямая или две прямые
На плоскости точки, равноудалённые от двух различных параллельных прямых, лежат на средней прямой между ними. Для двух пересекающихся прямых таких линий две: биссектрисы двух пар вертикальных углов. Если дополнительно требуется, чтобы точка лежала внутри конкретного угла, остаётся только соответствующий луч биссектрисы. Расстояние до прямой всегда измеряют перпендикуляром.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на числах
Для прямых y=0 и y=6 равные расстояния задаёт y=3. Для осей x и y условие |x|=|y| даёт две прямые y=x и y=−x. Во внутренности первой четверти остаётся луч y=x при x>0.
Маршрут рассуждения
- Геометрические места точек
ГМТ объединяет все точки, удовлетворяющие одному условию; искомая точка часто лежит в пересечении двух ГМТ.
- Линейка без делений и циркуль
Линейка проводит прямую через две точки; циркуль переносит длину и строит окружность.
- Четыре этапа решения
Анализ выясняет идею; построение перечисляет действия; доказательство проверяет свойства; исследование — существование и число решений.
- Сечения пространственных тел
Сечение многогранника строят по линиям пересечения секущей плоскости с плоскостями граней.
Главная мысль
ГМТ объединяет все точки, удовлетворяющие одному условию; искомая точка часто лежит в пересечении двух ГМТ.
Линейка без делений и циркуль
Измерять отрезок по делениям или угол транспортиром в классическом построении нельзя. Серединный перпендикуляр строят пересечениями двух равных окружностей с центрами в концах отрезка; радиус выбирают больше половины отрезка. Биссектрису строят через равные расстояния от точек на сторонах угла. Каждое действие опирается на уже известные точки и длины.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для отрезка AB=8 общий радиус двух окружностей нужно взять больше 4, например 5. Две их общие точки определят серединный перпендикуляр. При радиусе 4 будет только одна точка, и нужная прямая так не определяется.
Сколько точек пересечения у двух окружностей
| Условие: r₁,r₂>0; d≥0 | Общих точек |
|---|---|
| |r₁−r₂|<d<r₁+r₂ | 2 |
| d>0 и (d=r₁+r₂ или d=|r₁−r₂|) | 1 |
| d>r₁+r₂ или d<|r₁−r₂| | 0 |
| d=0, r₁=r₂ | Окружности совпадают: бесконечно много |
| d=0, r₁≠r₂ | Концентрические окружности: 0 |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Линейка проводит прямую через две точки; циркуль переносит длину и строит окружность.
Четыре этапа решения
В анализе полезно предположить, что фигура уже построена, и найти связи, позволяющие восстановить её части. При построении треугольника по трём сторонам сначала откладывают одну сторону, затем проводят две окружности заданных радиусов. Общие точки дают возможные третьи вершины. Два зеркальных положения относительно основания — два положения, но один треугольник с точностью до равенства.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Основание c=6, остальные стороны 5 и 5: окружности радиуса 5 пересекаются в двух точках. При c=10 касаются, но треугольник вырожден; при c>10 решений нет.
Подумай и объясни
При равенстве c=a+b получается…
Сверить рассуждение
Вырожденная фигура, не треугольник. Анализ выясняет идею; построение перечисляет действия; доказательство проверяет свойства; исследование — существование и число решений.
Построение касательных из внешней точки P
1
Соедини P с центром O данной окружности
2
Построй середину M отрезка OP
3
Проведи окружность с центром M и радиусом MO
4
Её пересечения T₁,T₂ с исходной окружностью дают прямые PT₁,PT₂: угол OTᵢP прямой
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Анализ выясняет идею; построение перечисляет действия; доказательство проверяет свойства; исследование — существование и число решений.
Сечения пространственных тел
Две точки сечения на одной грани соединяют прямой. Если известна лишь одна точка, ищут вторую через соседнюю грань, продолжение рёбер или параллельность следов на параллельных гранях. Линию можно продолжать в плоскости грани за её пределы как вспомогательную, но в итоговое сечение входят только части внутри тела. Проверяй замыкание многоугольника и положение всех вершин на рёбрах.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Плоскость через середины трёх рёбер куба, выходящих из одной вершины, отсекает треугольник. Его стороны — диагонали трёх равных квадратов со стороной a/2, поэтому длины сторон равны a/√2.
Почему найденного рисунка недостаточно
После построения требуется доказать, что полученная фигура удовлетворяет всем условиям, и проверить, найдены ли все решения. В задаче о касательной из внешней точки P к окружности O точка касания T должна удовлетворять OT⊥PT. Значит T лежит одновременно на исходной окружности и на окружности диаметра OP. Это и даёт построение, и доказывает его полноту.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на числах
При OP>R эти окружности пересекаются в двух точках — получаются две касательные. При OP=R касательная одна и строится перпендикулярно OP в P. При OP<R касательных через P нет: прямая через внутреннюю точку пересекает окружность в двух точках.
Разберём ошибку
Неверно Две точки секущей плоскости на одной грани позволяют… — Сразу получить всё сечение любого тела
Сечение многогранника строят по линиям пересечения секущей плоскости с плоскостями граней.
Как рассуждать: Верный ответ: Построить её след на этой грани.
Главная мысль
Сечение многогранника строят по линиям пересечения секущей плоскости с плоскостями граней.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
ГМТ объединяет все точки, удовлетворяющие одному условию; искомая точка часто лежит в пересечении двух ГМТ.
Линейка проводит прямую через две точки; циркуль переносит длину и строит окружность.
Анализ выясняет идею; построение перечисляет действия; доказательство проверяет свойства; исследование — существование и число решений.
Сечение многогранника строят по линиям пересечения секущей плоскости с плоскостями граней.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.