§ 10. Координаты и векторы

Три приращения измеряются по взаимно перпендикулярным осям. Формула расстояния — два последовательных применения Пифагора. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат концов. Выбирай начало и оси вдоль перпендикулярных рёбер, если они есть; это уменьшает количество ненулевых координат.

Вектор задаёт направление и длину, а не фиксированное место на рисунке. Перенос вектора параллельно самому себе его не меняет. a−b=a+(−b). Ненулевые коллинеарные векторы связаны a=λb; знак λ определяет, совпадают ли направления. Для нулевого вектора угол с другим вектором не определяется.

Сложение векторов на рисунке и по координатам

По правилу треугольника перенеси начало второго вектора в конец первого. Сумма ведёт из начала первого в конец второго: AB⃗+BC⃗=AC⃗. По правилу параллелограмма оба вектора выходят из одной точки, а их сумма направлена по диагонали из этой точки. Координатное сложение даёт тот же результат: каждое перемещение по оси складывается отдельно.

Чтобы найти угол между векторами, раздели скалярное произведение на произведение длин. Положительное произведение соответствует углу меньше 90°, нулевое — прямому; отрицательное — углу больше 90°, включая развёрнутый. Для угла между прямыми используют модуль скалярного произведения: противоположные направления задают ту же прямую. Ответ косинуса должен лежать в [−1;1], что полезно для проверки вычислений.

Для угла β прямой направления v с плоскостью: sin β=|v·n|/(|v||n|). Для меньшего угла между плоскостями используют cos θ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|). Нормаль можно подобрать, решив два линейных равенства n·u=0 и n·w=0; брать нулевой вектор нельзя. Для расстояния от P до плоскости через A удобно d=|AP⃗·n|/|n|.

Как составить уравнение плоскости

Если известны точка A(x₀;y₀;z₀) плоскости и ненулевая нормаль n=(a;b;c), любая точка X(x;y;z) плоскости удовлетворяет n·AX⃗=0. Поэтому a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. После раскрытия скобок получается ax+by+cz+d=0. Расстояние от P до плоскости равно |axP+byP+czP+d|/√(a²+b²+c²).