§ 5. Фигуры, симметричные относительно прямой

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Отражение в прямой

Как в зеркале

Чтобы точки были симметричны относительно прямой, отрезок между ними должен пересекать прямую под прямым углом и делиться ею пополам. Просто находиться на равных расстояниях по разные стороны недостаточно.

Точка, лежащая на оси, остаётся на месте. Для точки вне оси существует единственный образ на другой стороне. Осевая симметрия сохраняет длины и углы, но меняет расположение «левого» и «правого».

ПОСМОТРИ НА СХЕМУ

Ось — перпендикулярный сгиб между точками

Отразим точку A(−3; 2) относительно вертикальной оси Oy. Её образ B(3; 2) останется на той же высоте.

Как читать: Горизонтальный отрезок AB пересекает ось под прямым углом. С каждой стороны до оси по три единицы. Именно сочетание перпендикулярности и равных расстояний определяет положение зеркальной точки.

Почему при отражении относительно Oy нельзя менять оба знака?

Вертикальная координата должна сохраниться. Точка (3; −2) была бы образом при центральной симметрии относительно начала координат, а не при отражении в вертикальной оси.

Главная мысль

Ось симметрии — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом.

Строим через перпендикуляр

Точка M и ось a

Найди основание P.
Проведи из M перпендикуляр к a.
Отложи вторую половину.
На продолжении MP за P отметь M′ так, чтобы PM′ = PM.
Проверь.
MM′ перпендикулярен оси, а P — середина.

ПОЧЕМУ ТАК

Почему нельзя идти наклонно

Равные наклонные отрезки могут дать другую точку. Именно перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние до прямой и правильное зеркальное направление.

ИССЛЕДУЙ САМ

Отражение в прямой

Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Сначала проводят перпендикуляр к оси, затем откладывают равное расстояние за ней.

Отражаем координаты

Образ точки (3; −2)

Отражение	Образ
Относительно OX	(3; 2)
Относительно OY	(−3; −2)
Относительно начала O	(−3; 2)

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Ось x = 2

Для точки (5; 1) расстояние до вертикальной оси 3 единицы. По другую сторону получим (−1; 1). Вертикальная координата сохраняется, а середина абсцисс равна 2.

Зеркало может стоять в другом месте

01Ось x = 1
A(−2; 3)
Это вертикальная линия на единицу правее Oy. Точка A слева от неё на три единицы.
02Отложи столько же справа
x = 1 + 3 = 4
Высота не меняется: образ B(4; 3).
03Проверь сгиб
(−2 + 4) : 2 = 1
Середина отрезка лежит на оси x = 1, а сам отрезок горизонтален.

Все точки на оси остаются на месте. У фигуры может быть несколько осей симметрии; проверяй, совпадает ли после отражения вся фигура.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

При отражении в OX меняется знак y, в OY — знак x.

Оси самой фигуры

Сколько осей

У квадрата четыре оси: две через середины противоположных сторон и две диагонали. У прямоугольника, который не является квадратом, две оси; диагонали не подходят. У равностороннего треугольника три оси. У равнобедренного с ровно двумя равными сторонами — одна.

У окружности бесконечно много осей: любая прямая через центр. Наличие оси не означает наличие центра симметрии: равнобедренный треугольник — пример.

Подумай и объясни

Прямая проходит через середину AB. Этого достаточно для отражения A в B?

Сверить рассуждение

Нет. Она должна быть ещё и перпендикулярна AB. Нужны оба условия.

Главная мысль

При сгибании по оси симметрии части фигуры совпадают.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Математический тренажёр

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Ось симметрии — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом.

Сначала проводят перпендикуляр к оси, затем откладывают равное расстояние за ней.

При отражении в OX меняется знак y, в OY — знак x.

При сгибании по оси симметрии части фигуры совпадают.

Объясни, что означает каждый шаг решения.

Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.

Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.