ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Середина пары
Продолжение через центр
Точки должны лежать на одной прямой с центром и по разные стороны от него на равных расстояниях. Одного равенства расстояний недостаточно: две точки на окружности могут быть на разных направлениях.
Центральную симметрию можно представить как поворот на 180° вокруг O. Точка O при таком повороте остаётся на месте. Остальные точки переходят на противоположную сторону.
ПОСМОТРИ НА СХЕМУ
Центр — середина каждой соединяющей пары
Точки A(−3; 2) и B(3; −2) лежат на одной прямой с началом координат. Отрезки OA и OB имеют одинаковую длину.
Что происходит с самим центром при таком повороте?
Он остаётся на месте. Это единственная точка плоскости, которая совпадает со своим образом при центральной симметрии.
Главная мысль
Точки A и A′ симметричны относительно O, если O — середина AA′.
Строим отражённую точку
Построение A′
- Проведи прямую AO.
Она задаёт единственное направление к противоположной точке.
- Продолжи за O.
Отложи OA′ = OA по другую сторону от центра.
- Проверь середину.
O лежит между A и A′, обе половины равны.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
На координатной прямой
A(3), центр O(6). До центра 3 единицы вправо; после центра ещё 3: A′(9). Координата центра равна (3 + 9) : 2 = 6.
ИССЛЕДУЙ САМ
Поворот на половину оборота
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Для построения продолжают отрезок до центра на равную длину.
Координаты симметричных точек
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
A(−2; 5) → A′(2; −5)
Горизонтальное и вертикальное смещения меняют направления одновременно. Если отражать только один знак, получится осевая, а не центральная симметрия.
Если центр не в нуле
На прямой при центре c симметричная координата x′ = 2c − x. На плоскости правило применяют к каждой координате: x′ = 2a − x, y′ = 2b − y для центра (a; b). Это следует из условия середины.
Если центр расположен не в нуле
- 01Найди смещение от центра
C(1; 1), A(−2; 3)
От C к A идём на 3 влево и на 2 вверх.
- 02Пройди противоположно
От C: 3 вправо, 2 вниз
Получаем B(4; −1). Отсчитываем именно от C.
- 03Проверь середину
(−2 + 4) : 2 = 1; (3 − 1) : 2 = 1
Средние координаты концов совпали с координатами центра.
Менять знаки координат можно сразу только для центра (0; 0). При другом центре сначала учитывают его положение.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Относительно начала координат оба знака координат меняются.
Симметрия целой фигуры
Проверяем каждую точку
У прямоугольника центр симметрии находится на пересечении диагоналей. У окружности — её центр. У треугольника центра симметрии нет, даже если он равносторонний.
Чтобы построить симметричный многоугольник, построй образы всех вершин и соедини их в том же порядке. Длины сторон, углы и площадь сохранятся.
Подумай и объясни
Может ли центр симметрии пары совпадать с одной из двух разных точек?
Сверить рассуждение
Нет. Середина отрезка с разными концами лежит строго между ними. Единственная точка, совпадающая со своим образом, — сам центр.
Главная мысль
Центрально-симметричная фигура совмещается с собой при повороте на 180°.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. В заданиях на множества перечисляй элементы через точку с запятой: {1; 2; 3}. Пустое множество — ∅.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Порядок элементов множества не важен. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Точки A и A′ симметричны относительно O, если O — середина AA′.
Для построения продолжают отрезок до центра на равную длину.
Относительно начала координат оба знака координат меняются.
Центрально-симметричная фигура совмещается с собой при повороте на 180°.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.