§ 1. Степень с натуральным показателем и ее свойства

Представь квадрат со стороной 3 см: его площадь равна 3 · 3 = 3² см². Для куба с ребром 3 см объём равен 3 · 3 · 3 = 3³ см³. Основание показывает, какое число перемножают, показатель — сколько раз оно встречается среди множителей.

В 2⁵ пять двоек, а не два множителя 5 и не произведение 2 · 5. Значение равно 32. При показателе 1 остаётся само основание: 2¹ = 2. Числа со знаком подставляй в скобках: (−2)⁴ и −2⁴ имеют разный смысл.

В произведении 2³ · 2² соединяются цепочки из трёх и двух двоек: всего пять, значит 2⁵. Основание сохраняется, потому что множители одинаковые. При делении 2⁵ : 2² два множителя сокращаются сверху и снизу, остаются три.

Условие одинаковых оснований обязательно. Из 2³ · 3² нельзя получить 6⁵. У деления есть ещё запрет нулевого делителя. В этом параграфе разность показателей положительна; нулевой и отрицательный показатели будут определены дальше. В модели сравни операции на одной паре показателей.

В (2³)² две группы по три множителя 2, поэтому всего шесть двоек. Для (2 · 3)² выпиши (2 · 3)(2 · 3) и сгруппируй двойки с двойками, тройки с тройками: получится 2² · 3². Такие перестановки разрешены свойствами умножения.

Степень частного распределяется на числитель и ненулевой знаменатель: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Но на сумму это правило не переносится: (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13. Всегда называй действие внутри скобок, прежде чем выбирать свойство.

Минусы можно объединять попарно. В (−2)⁴ две пары отрицательных множителей дают плюс, ответ 16. В (−2)³ одна пара даёт плюс, но остаётся ещё один минус: ответ −8. Это рассуждение работает для любого отрицательного основания.

В записи −2⁴ основание степени равно 2, а минус поставлен перед готовым результатом: −16. Порядок проверки: найди основание вместе со скобками, определи знак, вычисли модуль. Если основание между 0 и 1, увеличение натурального показателя уменьшает значение: 0,5² > 0,5³.