§ 2. Степень с целым показателем и ее свойства

Ряд степеней двойки можно читать справа налево: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Каждый шаг делит значение на 2, значит следующий результат равен 1. Поэтому 2⁰ = 1. То же следует из a³ : a³ = 1: после вычитания показателей получается a⁰.

Нельзя забывать a ≠ 0: частное 0³ : 0³ не определено и ничего не доказывает. В рамках этого курса 0⁰ не определяют. Нулевая степень ненулевого числа не зависит от его размера или знака: 7⁰ = (−7)⁰ = 1.

Продолжим ряд: 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 12, 2⁻² = 14. Основание не стало отрицательным: уменьшился размер положительного числа. Чтобы вычислить (23)⁻², замени основание обратным 32 и показатель положительным 2; получится 94.

Если основание отрицательное, знак по-прежнему зависит от чётности показателя: (−2)⁻³ = −18, а (−2)⁻² = 14. Обратное к отрицательному числу тоже отрицательно. Нулевая база запрещена, поскольку обратного числа к нулю нет.

Например, 5⁻² · 5³ = 5¹ = 5: показатели складываются со знаками. При делении 5⁻² : 5³ = 5⁻⁵, потому что −2 − 3 = −5. Здесь уже можно вычитать больший показатель из меньшего.

В степени степени показатели перемножаются: (2⁻³)⁻² = 2⁶ = 64. Для отрицательной внешней степени все нужные основания должны быть ненулевыми. Полезно проверить вычисление второй записью: (18)⁻² = 8² = 64. Два пути должны дать одинаковое точное значение.

Для числа 4 противоположное равно −4, обратное равно 14, квадрат равен 16. Поэтому знак минус перед числом и минус в показателе нельзя путать. Проверка противоположных — сумма 0, проверка взаимно обратных — произведение 1.

Запиши 10⁻³ = 0,001: это тысячная единицы. Величины с такими степенями удобно сравнивать без длинных цепочек нулей. Если основание равно 1, все его целые степени равны 1; если основание равно −1, значение определяется чётностью показателя.