§ 26. Расстояние между параллельными прямыми

Выбери A на первой прямой и опусти AB на вторую. Поскольку прямые параллельны, AB перпендикулярен обеим. Его длина показывает ширину полосы. Наклонный отрезок между теми же прямыми обычно длиннее и не является расстоянием.

Точку A можно сдвинуть вдоль первой прямой. Основание B переместится на второй, но длина AB останется той же. Это свойство доказывает, что расстояние определено однозначно, а не зависит от выбора точки.

Возьмём два общих перпендикуляра AB и CD и соединим A с D. Прямоугольные треугольники ABD и DCA имеют общую гипотенузу AD и равные острые углы как накрест лежащие при параллельных прямых. Поэтому AB = CD.

Чертёж помогает увидеть две равные фигуры, но равенство длин получается из признака, а не из визуальной одинаковой высоты. Если линии непараллельны, такая проверка уже не работает: ширина между ними меняется и в точке пересечения становится нулевой.

Если дополнительно выбрана полуплоскость, остаётся одна из этих двух линий. Условие «на расстоянии 3 см» не выбирает автоматически сторону листа. Без уточнения нужно рассматривать обе возможности.

Точки, равноудалённые от двух различных параллельных прямых, лежат на средней параллели. Если ширина полосы 10 см, расстояние от средней прямой до каждой границы равно 5 см. Вне полосы равенства расстояний к двум границам нет.

Если b находится между a и c, расстояния от a до b и от b до c складываются в расстояние от a до c. Например, 3 см + 5 см = 8 см. Если две прямые лежат по одну сторону третьей, для расстояния между ними берут разность их удалённостей.

Поэтому данные 3 см и 5 см до одной прямой без расположения допускают два результата: 8 см по разные стороны и 2 см по одну. Сначала отметь порядок линий на общей перпендикулярной секущей, затем выбирай действие.