§ 25. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°

Пусть ∠C = 90°, ∠A = 30°. Гипотенуза — AB, а напротив A находится катет BC. Именно BC = AB/2. Катет AC прилежит к 30° и по этой теореме не равен половине гипотенузы.

На чертеже проведи взгляд от вершины угла к противоположной стороне. Это простое действие предотвращает ошибку выбора катета. Наклон треугольника и положение прямого угла на странице не меняют соответствие.

Отразим B относительно прямой AC, получим B′. Удвоенный угол при A равен 60°, стороны AB и AB′ равны. Равнобедренный треугольник ABB′ с вершиной 60° имеет и углы основания по 60°, значит он равносторонний.

Точка C — середина BB′ по симметрии, поэтому BC = BB′/2 = AB/2. Доказательство объясняет коэффициент 12: исходный катет является половиной стороны построенного равностороннего треугольника.

При гипотенузе 18 см катет против 30° равен 9 см. Если этот катет равен 7 см, гипотенуза равна 14 см. Направление вычисления выбирается по известной величине: деление пополам или удвоение.

Обратное утверждение также справедливо только при уже известной прямоугольности. Обычный треугольник со стороной, равной половине другой, не обязан иметь угол 30°. Перед применением проверь прямой угол и то, какие стороны сравниваются.

Из суммы острых углов 90° вычитаем 30° и получаем 60°. Катет напротив 30° меньше второго катета, потому что напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Это дополнительная проверка выбранной стороны.

Не делай из теоремы вывод, что любой катет равен половине гипотенузы. В прямоугольном равнобедренном треугольнике углы по 45°, и такая пропорция не выполняется. Условие 30° — необходимая часть конкретного правила.