§ 28. Построение треугольника по трем сторонам. Построение угла, равного данному

Сначала отложи основание AB длиной c. Окружность с центром A и радиусом b собирает все точки на расстоянии b от A. Окружность с центром B и радиусом a делает то же для B. Их пересечение даёт нужную третью вершину.

Соедини C с A и B. Длины AC и BC верны по радиусам, AB — по первому шагу. Так каждое условие отвечает отдельной операции. В модели открывай шаги по очереди и предсказывай, какую связь обеспечит следующая окружность.

При сторонах 4, 5, 6 окружности пересекаются в двух точках по разные стороны основания. Полученные треугольники зеркальны и равны по трём сторонам. Как две фигуры разных размеров и формы их не считают: решение одно с точностью до наложения.

Для длин 2, 3, 5 окружности касаются на прямой основания, поэтому невырожденного треугольника нет. Для 2, 3, 6 они не пересекутся нужным образом. Различай число точек на данном чертеже и число неравных треугольников в задаче.

Из вершины данного угла O проведи дугу, пересекающую стороны в A и B. Из новой вершины O′ тем же радиусом проведи дугу, пересекающую заданный луч в A′. Теперь перенеси расстояние AB: окружность из A′ этим радиусом пересечёт новую дугу в B′.

Проведи луч O′B′ в выбранной полуплоскости. В треугольниках OAB и O′A′B′ три пары сторон равны: два радиуса и перенесённая хорда. По третьему признаку углы при O и O′ равны. Измерять величину транспортиром не требовалось.

Две окружности могут дать две точки. В задаче об угле луч откладывают от заданного луча в указанную сторону; эта оговорка выбирает нужную точку. Если сторона не задана, возможны зеркальные положения равного угла.

В записи решения укажи центры и радиусы всех окружностей. Фраза «проведём дуги до пересечения» без их размеров не задаёт воспроизводимый алгоритм. После построения отдельно объясни равенство угла через равные треугольники.