§ 29. Построение биссектрисы угла. Построение середины отрезка

Пусть угол A. Дугой из A отметим B и C на его сторонах, поэтому AB = AC. Из B и C одинаковым достаточно большим радиусом построим дуги и выберем их пересечение D внутри угла. Луч AD будет искомой биссектрисой.

Удобно взять второй радиус больше BC: тогда нужное пересечение существует и легко выбирается внутри угла. Главное — сохранить одинаковый радиус для центров B и C. Если радиусы различны, равенство BD и CD исчезнет и доказательство не сработает.

AB = AC по первой дуге, BD = CD по одинаковым вторым радиусам, AD — общая сторона. Следовательно, углы BAD и DAC равны. Это точное доказательство биссектрисы: равенство углов выведено из построенных равенств длин.

Внутреннее положение D нужно, чтобы AD разделял исходный угол, а не указывал другое направление на той же прямой. При настоящем построении оставляй вспомогательные дуги видимыми: они показывают, откуда взялись равенства в доказательстве.

Для AB проведи из A и B окружности радиусом AB. Пусть P и Q — их точки пересечения. Прямая PQ пересечёт AB в M. Обе точки P и Q равноудалены от концов, значит PQ — серединный перпендикуляр, а AM = MB.

Можно выбрать и другой общий радиус, больший AB/2. При равенстве AB/2 пересечение только одно, при меньшем радиусе его нет. Саму половину длины сначала измерять не требуется: выбор полного AB сразу гарантирует подходящий радиус.

Для биссектрисы проводим луч из вершины через пересечение дуг. Для середины проводим прямую через два пересечения окружностей и берём её встречу с отрезком. Сходство дуг не означает, что финальный шаг одинаков.

Числовая проверка может помочь: биссектриса угла 80° даёт по 40°, середина отрезка 12 см — половины по 6 см. Но алгоритм работает и без знания исходных чисел. Цель — перенести заданные отношения, а не приблизительно отмерить половину.