§ 31. Геометрическое место точек

Все точки окружности центра O радиуса r находятся на расстоянии r от O. Обратно, любая точка с OP = r принадлежит этой окружности. Поэтому она точно описывает геометрическое место. Круг был бы неверным ответом: внутри расстояния меньше r.

Для равных расстояний до двух точек A и B нужная фигура — серединный перпендикуляр. Для внутренних точек угла, равноудалённых от его сторон, — биссектриса внутри угла. В каждом случае важно сохранить ограничения области поиска.

Без выбора стороны прямой точки на расстоянии h располагаются в обеих полуплоскостях. Если полуплоскость задана, остаётся одна параллель. Точки, равноудалённые от двух различных параллелей, образуют среднюю прямую между ними.

Для двух пересекающихся прямых равноудалённые точки лежат на обеих биссектрисах углов между ними. Это отличается от задачи о точках внутри одного угла, где выбирается один внутренний луч. Точные слова в условии определяют, целая ли прямая, луч или две фигуры составляют ответ.

Нужно PA = PB и PC = r. Первое условие задаёт серединный перпендикуляр к AB, второе — окружность с центром C. Их общие точки и являются решениями. В зависимости от положения может быть две, одна или ни одной.

Это тот же замысел, что в построении треугольника по трём сторонам: третья вершина ищется на пересечении двух окружностей. Каждое расстояние создаёт свою фигуру. Не выбирай точку только по одному условию, забыв второе.

Если требуется вершина равнобедренного треугольника с основанием AB, она лежит на серединном перпендикуляре, но не в середине AB: три точки должны образовывать невырожденный треугольник. Дополнительное слово «треугольник» исключает одну точку известной прямой.

После построения проверь каждое условие и объясни полноту: любая другая подходящая точка обязана лежать на тех же двух фигурах, значит уже учтена среди их пересечений. Рисунок даёт кандидатов, а прямое и обратное рассуждения завершают решение.