§ 30. Построение прямой, перпендикулярной данной

Если A вне прямой, радиус должен быть больше расстояния от A до прямой, чтобы появились две различные точки пересечения. Если A лежит на прямой, любой положительный радиус даст точки по разные стороны от A.

Условие AB = AC означает, что A принадлежит серединному перпендикуляру к BC. Поэтому искомый перпендикуляр можно построить как прямую через A и ещё одну точку, равноудалённую от B и C. Так задача сводится к уже известному построению.

Теперь DB = DC, поэтому D тоже лежит на серединном перпендикуляре к BC. Проведи AD. Две различные точки определяют прямую, которая перпендикулярна BC, а значит, и исходной прямой.

Следи за отличием D от A: совпавшие точки не задают единственную прямую. Если при выбранных радиусах одно пересечение уже является A, возьми другое. В модели шаги показывают, какие равенства появляются до проведения окончательной линии.

На анализе допустимо представить, что фигура уже построена, и искать её свойства. Но это пока предположение для поиска плана. В доказательстве используют только данные условия и факты, обеспеченные выполненными операциями.

Исследование отвечает, всегда ли пересекаются нужные окружности, сколько положений возможно и какие из них считаются одним решением. Неудачный рисунок не означает, что задача неразрешима: возможно, неверно выбран вспомогательный радиус.

Сначала проведи через A перпендикуляр l к данной прямой a. Затем через A проведи перпендикуляр m к l. Прямые m и a обе перпендикулярны l на одной плоскости, поэтому параллельны.

В описании можно ссылаться на уже построенный алгоритм, не повторяя каждый раз все дуги. Но нужно сохранять зависимость шагов: вторая перпендикулярность относится к первой вспомогательной линии, а не снова к исходной. Иначе получится та же линия l.