§ 1. Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень

Числа 7 и −7 при возведении в квадрат дают 49. Поэтому уравнение x² = 49 имеет два решения: −7 и 7. Если речь о стороне квадрата площадью 49 см², отрицательная длина не подходит: остаётся 7 см.

У x² = 0 одно решение — нуль. У x² = −9 нет действительных решений: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Сначала посмотри на знак правой части, а затем извлекай корень.

Запись √49 означает только 7. Ставить перед ним ± не нужно. Знак ± появляется при решении уравнения: x = ±√49. Чтобы проверить √a = b, нужны два условия: b ≥ 0 и b² = a.

Проверим √0,81 = 0,9: число неотрицательно и 0,9² = 0,81. Число −0,9 тоже имеет нужный квадрат, но не является арифметическим корнем. В модели меняй площадь и предсказывай сторону.

При x = −5 выражение √(x²) равно √25 = 5, а не −5. Поэтому просто убрать квадрат и корень нельзя: результат должен быть неотрицательным. Модуль как раз выбирает неотрицательную величину.

Если известно x ≥ 0, модуль равен x. Если x < 0, модуль равен −x. Например, при t < 2 выражение √((t − 2)²) равно 2 − t. Сначала определяем знак, потом раскрываем модуль.

Поскольку 4² = 16 и 5² = 25, число √20 лежит между 4 и 5. Для более точной оценки сравним 4,4² = 19,36 и 4,5² = 20,25: значит 4,4 < √20 < 4,5.

Десятичное приближение не заменяет точное значение. Пишем √20 ≈ 4,47, а не равенство. Если задание допускает точный корень, оставь √20; если просит округлить, укажи нужный разряд.