§ 2. Иррациональные и действительные числа

Целые числа тоже рациональны: −3 = −31. Конечная десятичная дробь 0,125 равна 1251000 = 18. Бесконечная периодическая дробь 0,(3) равна 13. Бесконечность записи сама по себе не делает число иррациональным.

При делении целых чисел остатки либо приводят к нулю, либо начинают повторяться. Поэтому десятичная запись рационального числа конечна или периодична. Слово «период» означает повтор одного и того же блока цифр.

Число √2 иррационально. Но не всякая запись со знаком корня иррациональна: √9 = 3. Сначала вычисли или упрости выражение. Например, √18/√2 = 3 — рациональное число, хотя обе части дроби по отдельности иррациональны.

Идея доказательства для √2: предположить несократимую дробь m/n. Из m² = 2n² следует чётность m, затем чётность n. Получается общий делитель 2, вопреки несократимости. Значит такой дроби нет.

Натуральные входят в целые, целые — в рациональные, рациональные — в действительные. Иррациональные также входят в действительные, но не в рациональные. Каждой точке числовой прямой соответствует действительное число.

Нельзя называть любое нецелое число иррациональным: 32 не целое, но рациональное. Для определения вида числа важна возможность точной дробной записи, а не наличие запятой или необычного символа.

Запись √2 ≈ 1,414 означает близкое значение. Поскольку 1,41² < 2 < 1,42², получаем надёжные границы 1,41 < √2 < 1,42. Точное число остаётся между ними.

При вычислениях лучше сохранять корни до последнего шага. Раннее округление может изменить результат сравнения или последнюю цифру ответа. Для проверки оценки достаточно возвести её границы в квадрат, если они неотрицательны.