ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Хорды пересекаются внутри
Перемножаем две части одной хорды и приравниваем произведению частей другой. При PA = 3, PB = 8, PC = 4 получаем PD = 244 = 6.
Свойство следует из подобия треугольников: вертикальные углы равны, а вписанные углы опираются на общую дугу. Пропорция превращается в равенство произведений.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| Пересекающиеся хорды | Части одной хорды | PA · PB = PC · PD |
| Две секущие из P | Внешняя × полная | PA · PB = PC · PD |
| Касательная и секущая | Квадрат касательной | PT² = PA · PB |
Подумай и объясни
При PA = 2, PB = 12, PC = 3 получаем PD = …
Сверить рассуждение
8. Если AB и CD пересекаются в P внутри окружности, то PA · PB = PC · PD.
Главная мысль
Если AB и CD пересекаются в P внутри окружности, то PA · PB = PC · PD.
Секущие выходят из одной внешней точки
PA и PC — внешние части, PB и PD — полные отрезки от P до дальних точек. Если PA = 3, AB = 5, то PB = 8, и произведение равно 24.
Частая ошибка — умножить PA на AB. Внутренняя часть AB сначала прибавляется к внешней, чтобы получить полный отрезок PB.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Для порядка P, A, B и P, C, D справедливо PA · PB = PC · PD.
Касательная даёт квадрат
При внешней части 4 и полной секущей 9 получаем PT² = 36, значит PT = 6. Длина касательной может быть меньше полной секущей и больше внешней части.
Не забывай извлечь корень: произведение равно квадрату длины, а не самой длине. Все отрезки должны начинаться от одной внешней точки.
Подумай и объясни
При PA = 2 и PB = 18 длина PT равна …
Сверить рассуждение
6. Если PT — касательная, PAB — секущая, то PT² = PA · PB.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если PT — касательная, PAB — секущая, то PT² = PA · PB.
Схема выбора формулы
Сначала обозначь порядок точек. Затем выпиши известные части и найди недостающие целые суммы. Только после этого подставляй числа в равенство произведений.
Проверь найденную длину по расположению: полная секущая длиннее внешней части, все длины положительны. Подставь результат обратно в оба произведения.
Главная мысль
Внутри: часть × часть. Снаружи: внешняя × вся. Касательная: длина².
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Если AB и CD пересекаются в P внутри окружности, то PA · PB = PC · PD.
Для порядка P, A, B и P, C, D справедливо PA · PB = PC · PD.
Если PT — касательная, PAB — секущая, то PT² = PA · PB.
Внутри: часть × часть. Снаружи: внешняя × вся. Касательная: длина².
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.