§ 28. Углы между хордами, секущими и касательными

Пусть хорды AB и CD пересекаются в P. Для угла APC нужны дуги AC и BD: к каждой ведут стороны выбранного или вертикального угла. Если дуги 80° и 40°, угол равен 60°.

Формулу можно получить, достроив треугольник и выразив его углы через вписанные углы. Не бери две соседние дуги, произвольно попавшие на рисунок.

Если P — внешняя точка, на одной секущей идут P, A, B, на другой P, C, D, используются дальняя дуга BD и ближняя AC. При 140° и 60° угол равен 40°.

Вычитаем меньшую меру из большей. Разность, а не сумма, появляется потому, что один угол треугольника является внешним для другого.

Точка касания служит общим концом двух используемых дуг. Нужно различить дугу к дальней точке секущей и дугу к ближней, затем вычесть их меры.

Если вершина находится в самой точке касания, это уже угол между касательной и хордой: он равен половине заключённой дуги. Положение вершины меняет формулу.

В четырёхугольнике из центра, точек касания и внешней точки есть два прямых угла. Поэтому два остальных в сумме равны 180°. При центральном угле 110° угол касательных равен 70°.

Это согласуется с полуразностью дуг: большая дуга 360° − α, меньшая α, половина разности равна 180° − α.