ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Движения плоскости
Параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрии — движения. Они сохраняют длины, углы, площади, коллинеарность и форму. Последовательность движений также является движением.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Перенос на вектор (3;−2) переводит (1;4) в (4;2), а любую пару точек сдвигает одинаково.
Маршрут рассуждения
- Движения плоскости
Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
- Симметрии и поворот
Отражение в Ox: (x;y)→(x;−y); в Oy: (−x;y); центр O: (−x;−y).
- Гомотетия
При центре O и коэффициенте k≠0 вектор OA′=k·OA.
- Подобие и площади
Преобразование подобия масштаба k>0 сохраняет углы, умножает длины на k, площади на k².
Главная мысль
Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
Симметрии и поворот
Поворот вокруг O на 90° против часовой стрелки переводит (x;y) в (−y;x). У осевой симметрии отрезок между точкой и образом перпендикулярен оси и делится ею пополам.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
(2;3) при повороте на 90° против часовой стрелки становится (−3;2). При центральной симметрии — (−2;−3).
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Отражение в Ox: (x;y)→(x;−y); в Oy: (−x;y); центр O: (−x;−y).
Гомотетия
Положительный k оставляет образ на том же луче, отрицательный — на противоположном. Все расстояния умножаются на |k|. Гомотетия с |k|≠1 не является движением.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При центре O и k=−2 точка (1;3) переходит в (−2;−6). Расстояние между любыми образами вдвое больше исходного.
Подумай и объясни
Во сколько меняются длины при k=−2?
Сверить рассуждение
В 2 раза. При центре O и коэффициенте k≠0 вектор OA′=k·OA.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При центре O и коэффициенте k≠0 вектор OA′=k·OA.
Подобие и площади
Гомотетия и движение позволяют получить подобные фигуры. Параллельные прямые остаются параллельными, окружность переходит в окружность. Сравнивать площади нужно по квадрату линейного масштаба.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При масштабе 3 периметр увеличивается втрое, площадь в 9 раз. При масштабе 12 площадь составляет 14 исходной.
Разберём ошибку
Неверно При масштабе 3 площадь меняется… — В 3 раза
Преобразование подобия масштаба k>0 сохраняет углы, умножает длины на k, площади на k².
Как рассуждать: Верный ответ: В 9 раз.
Главная мысль
Преобразование подобия масштаба k>0 сохраняет углы, умножает длины на k, площади на k².
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
Отражение в Ox: (x;y)→(x;−y); в Oy: (−x;y); центр O: (−x;−y).
При центре O и коэффициенте k≠0 вектор OA′=k·OA.
Преобразование подобия масштаба k>0 сохраняет углы, умножает длины на k, площади на k².
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.