ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Выбор осей
Так сокращается число неизвестных координат. Сначала переведи каждое геометрическое условие в равенство, затем вычисляй и в конце верни результат на язык исходной задачи.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
В прямоугольном треугольнике возьмём C(0;0),A(a;0),B(0;b). Две координаты автоматически нулевые.
Маршрут рассуждения
- Выбор осей
Начало удобно помещать в центр симметрии или вершину прямого угла, оси — вдоль важных линий.
- Медиана к гипотенузе
Середина гипотенузы равноудалена от трёх вершин.
- Прямая и окружность
У x²+y²=R² и y=d общие точки имеют x²=R²−d².
- Векторное доказательство
Равенства векторов доказывают параллельность, середины и свойства диагоналей.
Главная мысль
Начало удобно помещать в центр симметрии или вершину прямого угла, оси — вдоль важных линий.
Медиана к гипотенузе
При C(0;0),A(a;0),B(0;b) середина M=(a/2;b/2). Тогда CM²=(a²+b²)/4, а AB²=a²+b². Значит, CM=AB/2.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
При a=6,b=8: M=(3;4), CM=5, AB=10. Это доказательство общей теоремы, а не только одного рисунка.
ИССЛЕДУЙ САМ
Исследуй связь величин
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Середина гипотенузы равноудалена от трёх вершин.
Прямая и окружность
При d≥0 это расстояние от центра до прямой. Положительная правая часть даёт две точки, нулевая одну, отрицательная ни одной. Так геометрические случаи следуют из числа корней уравнения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
R=5,d=3: x=±4, общие точки (−4;3),(4;3). При d=5 одна точка (0;5).
Подумай и объясни
При d>R общих точек…
Сверить рассуждение
Нет. У x²+y²=R² и y=d общие точки имеют x²=R²−d².
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
У x²+y²=R² и y=d общие точки имеют x²=R²−d².
Векторное доказательство
Если M,N — середины AB,AC, то AM=AB/2 и AN=AC/2. Вычти: MN=AN−AM=(AC−AB)/2=BC/2. Это сразу даёт параллельность и половину длины.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Проверим на примере
Для ромба можно взять соседние стороны u,v равной длины. Диагонали u+v и u−v имеют скалярное произведение |u|²−|v|²=0.
Разберём ошибку
Неверно Из MN=BC/2 следует… — MN перпендикулярен BC
Равенства векторов доказывают параллельность, середины и свойства диагоналей.
Как рассуждать: Верный ответ: MN параллелен BC и вдвое короче.
Главная мысль
Равенства векторов доказывают параллельность, середины и свойства диагоналей.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Начало удобно помещать в центр симметрии или вершину прямого угла, оси — вдоль важных линий.
Середина гипотенузы равноудалена от трёх вершин.
У x²+y²=R² и y=d общие точки имеют x²=R²−d².
Равенства векторов доказывают параллельность, середины и свойства диагоналей.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.