Положение, скорость и ускорение
Меняй амплитуду, период и фазу. Проследи один цикл и сопоставь движение с графиком.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
Идеальное гармоническое движение x = A cos(ωt + φ₀); положительная ось направлена вправо. Стрелки v и a имеют собственные условные масштабы.
Повторение: период не равен времени любого возврата
Колебания — движения с повторяющимися отклонениями от положения равновесия. Координату x отсчитывают от равновесия, амплитуда A — наибольший модуль отклонения. Амплитуда положительна, а координата может иметь оба знака.
Период T — время одного полного повторения состояния: положения и направления движения. За один период тело дважды проходит равновесие. Поэтому промежуток между соседними прохождениями равновесия равен T/2, а не T. Частота ν = 1/T показывает число полных колебаний за секунду.
| Величина | Смысл | Единица |
|---|---|---|
| x | Смещение от равновесия | м |
| A | Максимальный модуль x | м |
| T | Время полного колебания | с |
| ν | Число колебаний за секунду | Гц |
Для определения периода нужно повторение состояния, а не только координаты.
Почему одинаковая координата не всегда означает завершение периода?
Через одну точку тело может проходить в противоположных направлениях; это разные состояния движения.
Закон: косинус и начальная фаза
Гармоническое колебание задаётся x = A cos(ωt + φ₀). Циклическая частота ω = 2πν = 2π/T измеряется в рад/с. Фаза ωt + φ₀ определяет, на каком участке колебания находится тело; начальная фаза учитывает выбор начала отсчёта времени.
При φ₀ = 0 тело начинает в x = A с нулевой скоростью. При φ₀ = π/2 оно начинает в равновесии и движется к отрицательным x. Косинус не является особым видом колебания по сравнению с синусом: функции отличаются сдвигом фазы.
Координата
x = A cos(ωt + φ₀)
Циклическая частота
ω = 2π/T
Фаза за период
Увеличивается на 2π
Амплитуда задаёт размах, частота — темп, начальная фаза — стартовое состояние.
Если φ₀ изменить, изменится ли собственный период?
Нет. При неизменном ω сдвинется начало рисунка колебания, но время повторения останется прежним.
Маятниковые часы
Маятник задаёт повторяющийся ритм механизма. Реальные часы восполняют потери энергии, поэтому их движение не является бесконечным свободным колебанием.
Christoph Braun · CC0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Синусоида на экране осциллографа
Осциллограф показывает зависимость напряжения от времени. Длина волны в пространстве и период на временном графике — разные характеристики.
Pittigrilli · CC BY-SA 4.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Движение: скорость и ускорение не совпадают
Скорость v = −Aω sin(ωt + φ₀), ускорение a = −ω²x. Ускорение всегда направлено к равновесию и максимально по модулю у крайних положений. Скорость, наоборот, максимальна по модулю в равновесии и равна нулю в крайних точках.
Нулевая скорость в точке разворота не означает нулевой силы. Именно ненулевое ускорение меняет направление движения. Стрелки v и a могут совпадать при движении к равновесию и быть противоположными при движении от него.
| Положение | Скорость по модулю | Ускорение по модулю |
|---|---|---|
| x = 0 | Максимальная Aω | Нулевое |
| x = ±A | Нулевая | Максимальное Aω² |
| Между краями | Меняется | Пропорционально модулю x |
При гармонических колебаниях a = −ω²x: знак минус выражает возвращающий характер ускорения.
Почему тело проходит равновесие, а не останавливается в нём?
В этот момент ускорение нулевое, но скорость ненулевая; движение продолжается по инерции.
Пример и модель: читать график вместе с телом
При A = 0,10 м и T = 2 с циклическая частота равна π рад/с. Максимальная скорость около 0,314 м/с, максимальное ускорение около 0,987 м/с². От старта x = A до первого равновесия проходит T/4 = 0,5 с.
В модели меняй амплитуду, период и фазу, затем продвигай время. Сравни точку на графике с положением тела и направлениями стрелок. Вертикальная координата графика показывает смещение; сам график не является пространственной траекторией тела.
Найти равновесие
От него отсчитывается x
Прочитать масштаб времени
Найти T между одинаковыми состояниями
Вычислить производные величины
ν = 1/T, ω = 2π/T, vmax = Aω
График x(t) связывает смещение со временем и не изображает форму траектории.
Какой путь проходит тело за полный период?
При движении между −A и +A оно проходит 4A; перемещение за полный период равно нулю.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 11 класс», § 1. Тема и содержание сверены с файлом «11 класс. Физика — § 01. Колебательное движение.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.