Два маятника: что задаёт период
Переключай тип маятника и меняй его параметры. Модель объясняет зависимости периода.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
g = 9,81 м/с². Идеальная пружина; математический маятник отклонён не более чем на 8°. Неиспользуемые регуляторы отключены.
Возвращение и инерция: два условия колебаний
Если тело смещено из устойчивого равновесия, результирующая сила стремится вернуть его обратно. Инерция позволяет пройти равновесие и отклониться в другую сторону. Начальное смещение или толчок задают запас энергии и амплитуду.
Само наличие силы, направленной к равновесию, ещё не гарантирует незатухающих гармонических колебаний. Нужны подходящий закон силы и достаточно малые потери. В идеальных моделях трением пренебрегают; в опыте колебания постепенно затухают.
Начальное воздействие
Смещение или толчок
Возвращающая сила
Ускоряет к равновесию
Инерция
Переносит через равновесие
Колебания возникают из совместного действия возвращающей силы и инерции.
Почему слишком сильное сопротивление может убрать колебания?
Тело может вернуться к равновесию без перехода на другую сторону; такое движение уже не является колебательным.
Пружина: жёсткость против инертности
Для груза на идеальной пружине F = −kx, поэтому a = −(k/m)x. Сравнение с a = −ω²x даёт ω = √(k/m) и T = 2π√(m/k). Массу пружины и сопротивление среды в этой модели не учитывают.
Увеличение массы в четыре раза удваивает период; увеличение жёсткости в четыре раза уменьшает его вдвое. В вертикальном случае тяжесть смещает равновесие на mg/k, но период колебаний относительно нового равновесия сохраняет ту же формулу.
Возвращающая сила
F = −kx
Циклическая частота
ω = √(k/m)
Период
T = 2π√(m/k)
Период пружинного маятника определяется массой и жёсткостью в пределах закона Гука.
Почему увеличение амплитуды не меняет T в идеальной модели?
Линейная сила растёт пропорционально смещению. При выходе из линейного диапазона независимость от амплитуды может нарушиться.
Пружина шариковой ручки
Пружина создаёт возвращающую силу при деформации. Линейная зависимость силы от смещения является приближением для определённого диапазона.
Santeri Viinamäki · CC BY-SA 4.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Маятниковые часы
Маятник задаёт повторяющийся ритм механизма. Реальные часы восполняют потери энергии, поэтому их движение не является бесконечным свободным колебанием.
Christoph Braun · CC0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Нить: малая амплитуда — существенное условие
Математический маятник — материальная точка на невесомой нерастяжимой нити длиной l. При малом угле sin θ ≈ θ в радианах возвращающая составляющая тяжести пропорциональна отклонению. Тогда T = 2π√(l/g).
Масса сокращается из уравнения: более тяжёлый груз получает большую силу, но имеет большую инертность. При больших углах период уже зависит от амплитуды. Длину измеряют от точки подвеса до центра масс компактного груза, а не только до его верхнего края.
| Изменение | Пружинный маятник | Математический маятник |
|---|---|---|
| Масса в 4 раза больше | T в 2 раза больше | T прежний |
| Длина нити в 4 раза больше | Не относится к модели | T в 2 раза больше |
| g меньше | Вертикальное равновесие меняется | T увеличивается |
Для математического маятника формула периода относится к малым углам.
Почему маятник на Луне колеблется медленнее?
Меньшее g означает меньшее возвращающее ускорение при том же отклонении и длине.
Расчёт: сравнивать отношения удобнее
При m = 1 кг и k = 100 Н/м период пружинного маятника T ≈ 0,628 с. При l = 1 м и g = 9,81 м/с² период математического маятника около 2,01 с. Это разные системы, и переносить между ними формулы нельзя.
Интерактив переключает две модели и показывает изменение периода. Сначала измени один параметр, предскажи характер изменения, затем сопоставь с расчётом. Изображённые размеры условны; численные величины и ограничения модели указаны рядом.
Выбрать систему
Груз на пружине или на нити?
Проверить допущения
Линейная пружина или малые углы?
Вычислить T
Подставить величины в СИ
Сравнение периодов требует сначала установить физическую модель.
Во сколько раз надо увеличить длину нити, чтобы период удвоился?
В четыре раза, потому что T пропорционален квадратному корню из l.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 11 класс», § 2. Тема и содержание сверены с файлом «11 класс. Физика — § 02. Пружинный и математический маятники.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.