Рост энергии при приближении к c
Меняй скорость и сопоставь релятивистскую и классическую кинетические энергии.
Схему можно прокрутить вбок. Все значения повторены в расчёте ниже.
Масса m инвариантна. Энергии в единицах mc², импульс в mc; β < 1. График показывает K/(mc²), а не полную энергию.
Импульс при больших скоростях
В классической механике p = mv, но при скорости, сравнимой с c, используется p = γmv, где γ = 1/√(1 − v²/c²). Масса m здесь является инвариантной массой тела: она не меняется только из-за выбора системы отсчёта.
При v намного меньше c коэффициент γ близок к единице, и получается прежняя формула. При приближении v к c импульс массивного тела неограниченно растёт. Закон изменения импульса сохраняется в форме F = dp/dt, а постоянная сила уже не означает постоянное ускорение.
| Величина | Классический предел | СТО |
|---|---|---|
| Импульс | mv | γmv |
| Кинетическая энергия | mv²/2 | (γ − 1)mc² |
| Предельная скорость массивного тела | Формула предела не задаёт | v < c |
При больших скоростях меняется связь импульса со скоростью, а не закон учёта изменения импульса.
Почему нельзя продолжать использовать a = F/m с неизменным a для разгона до c?
Релятивистский импульс нелинейно зависит от скорости, поэтому F = dp/dt не сводится при таком разгоне к классическому выражению с постоянным ускорением.
Полная энергия и энергия покоя
Полная энергия свободного тела E = γmc². Даже при v = 0 остаётся энергия покоя E₀ = mc². Кинетическая энергия равна разности E − E₀, то есть K = (γ − 1)mc². Смешивать E и K нельзя: у покоящегося тела K = 0, но E₀ обычно не ноль.
Связь E² = p²c² + m²c⁴ объединяет энергию, импульс и массу. Для частицы с нулевой массой она даёт E = pc. В этом описании не требуется вводить «массу, растущую со скоростью»: рост E и p учитывает γ.
Энергия покоя
E₀ = mc²
Полная энергия
E = γmc²
Кинетическая энергия
K = (γ − 1)mc²
Формула mc² описывает энергию покоя, а кинетическая энергия определяется отдельно.
Если полная энергия равна 2mc², чему равна кинетическая?
K = E − mc² = mc². Коэффициент γ при этом равен 2.
Следы частиц в камере Вильсона
Камера Вильсона делает видимыми следы ионизации: капли образуются вдоль путей заряженных частиц. Саму частицу обычным глазом здесь не видят.
Own work · CC BY-SA 3.0 · Источник. Без изменений.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Международная космическая станция над Землёй
Для движения космических аппаратов важны система отсчёта и точность измерений. В точных часах учитывают движение и гравитационные поправки.
NASA · Общественное достояние · Источник фотографии.
Изображение временно недоступно. Ссылка на источник находится выше.
Связь массы и энергии системы
Масса системы определяется её полной энергией в системе центра импульса. Нагрев, возбуждение и изменение энергии связи могут изменять массу системы. Если система в покое отдаёт энергию ΔE без изменения итогового импульса, уменьшение массы связано с Δm = ΔE/c².
В ядерной реакции меньшая суммарная масса покоя продуктов может сопровождаться большей их кинетической энергией и излучением. Энергия не возникает из ничего: сохраняется полный энергетический баланс, включающий энергии покоя.
Сравнить начальное и конечное состояния
Учесть массы и движение
Найти изменение энергии покоя
Δm · c²
Учесть остальные формы
Кинетическая энергия и излучение
Изменение массы связанной системы отражает изменение её энергии покоя.
Правильно ли говорить, что энергия в реакции появляется из ничего, потому что массы уменьшились?
Нет. Уменьшение суммарной энергии покоя компенсируется другими составляющими полной энергии.
Модель: сравнение с классикой
Модель показывает p/(mc), E/(mc²) и K/(mc²), поэтому не требует выбирать конкретную массу. При β = 0,6 коэффициент γ = 1,25: p/(mc) = 0,75, E/(mc²) = 1,25, K/(mc²) = 0,25. Классическая оценка K/(mc²) = β²/2 даёт 0,18.
При малых β кривые кинетической энергии почти совпадают. При больших расходятся. Для достижения c телом с m > 0 потребовалась бы неограниченная энергия в рамках этой модели, поэтому регулятор не включает β = 1.
Выбрать β < 1
β = v/c
Рассчитать γ
Корень всегда положителен
Разделить E и K
K = E − E₀
Классическая кинетическая энергия является приближением релятивистской при v намного меньше c.
Почему график K не начинается с mc²?
Потому что K отсчитывается от состояния покоя; mc² входит в полную энергию, а не в кинетическую.
Шесть выводов
Тест · 10 вопросовОдин правильный ответ в каждом вопросе
Сначала изучи модель и конспект. За каждый верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5. После проверки откроются пояснения.
Учебный источник и иллюстрации
Основа: предоставленный учебник «Физика, 11 класс», § 26. Тема и содержание сверены с файлом «11 класс. Физика — § 26. Элементы релятивистской динамики.pdf». Объяснения, расчётные примеры и модели подготовлены для этого конспекта. Дополнительные зависимости в моделях отмечены отдельно.
Изображения загружаются непосредственно из интернета. Авторство и лицензии указаны под каждой иллюстрацией. Размеры и цвета учебных схем условны; ограничения каждой модели указаны рядом.