ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Синус суммы и разности
Каждый угол участвует один раз через синус и один раз через косинус. Знак между двумя произведениями совпадает со знаком между углами.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin 75°=sin(45°+30°)=(√6+√2)/4. Складывать sin45° и sin30° было бы неверно.
Маршрут рассуждения
- Синус суммы и разности
sin(α±β)=sin α cos β±cos α sin β.
- Косинус суммы и разности
cos(α±β)=cos α cos β∓sin α sin β.
- Тангенс
tg(α±β)=(tg α±tg β)/(1∓tg α tg β) там, где все части определены.
- Узнай формулу в обратную сторону
sin α cos β+cos α sin β=sin(α+β).
Главная мысль
sin(α±β)=sin α cos β±cos α sin β.
Косинус суммы и разности
Знак между произведениями противоположен знаку между углами. Равенство α=β позволяет сразу проверить: cos(α−α)=cos²α+sin²α=1.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
cos 15°=cos(45°−30°)=(√6+√2)/4.
Сумма и разность
| Функция | Сумма углов | Разность углов |
|---|---|---|
| sin | sin α cos β+cos α sin β | sin α cos β−cos α sin β |
| cos | cos α cos β−sin α sin β | cos α cos β+sin α sin β |
| tg | (tg α+tg β)/(1−tg αtg β) | (tg α−tg β)/(1+tg αtg β) |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
cos(α±β)=cos α cos β∓sin α sin β.
Тангенс
Формула получается делением синуса суммы на косинус суммы. Нужны ненулевые cos α,cos β и знаменатель итогового отношения. Если отдельный тангенс не существует, используй формулы sin и cos.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
При tg α=12,tg β=13: tg(α+β)=(56)/(56)=1.
Подумай и объясни
Когда дробная формула запрещена?
Сверить рассуждение
Когда её знаменатель равен 0. tg(α±β)=(tg α±tg β)/(1∓tg α tg β) там, где все части определены.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
tg(α±β)=(tg α±tg β)/(1∓tg α tg β) там, где все части определены.
Узнай формулу в обратную сторону
Объединение произведений часто проще подстановки четырёх отдельных значений. Сначала проверь порядок функций и знак, затем вычисли полученный угол.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin20°cos70°+cos20°sin70°=sin90°=1.
Разберём ошибку
Неверно cos α cos β+sin α sin β равно… — cos(α+β)
sin α cos β+cos α sin β=sin(α+β).
Как рассуждать: Верный ответ: cos(α−β).
Главная мысль
sin α cos β+cos α sin β=sin(α+β).
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
sin(α±β)=sin α cos β±cos α sin β.
cos(α±β)=cos α cos β∓sin α sin β.
tg(α±β)=(tg α±tg β)/(1∓tg α tg β) там, где все части определены.
sin α cos β+cos α sin β=sin(α+β).
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.