ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Синус двойного угла
В формуле sin(α+β) положи β=α: два одинаковых произведения складываются. Значение sin α само по себе не задаёт знак cos α, поэтому иногда нужна четверть.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Если sin α=35,cos α=45, то sin 2α=2425.
Маршрут рассуждения
- Синус двойного угла
sin 2α=2sin α cos α.
- Три формы косинуса
cos 2α=cos²α−sin²α=1−2sin²α=2cos²α−1.
- Тангенс и ограничения
tg 2α=2tg α/(1−tg²α), если обе стороны определены.
- Понижение степени
sin²α=(1−cos 2α)/2; cos²α=(1+cos 2α)/2.
Главная мысль
sin 2α=2sin α cos α.
Три формы косинуса
Выбирай ту форму, где используется известная функция. Переходы между формами основаны на sin²α+cos²α=1. Не путай cos²α и cos 2α.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Если sin α=35, то cos 2α=1−1825=725 независимо от знака cos α.
Один двойной угол — разные формы
| Формула | Когда удобна |
|---|---|
| sin2α=2sin αcos α | Известны обе функции α |
| cos2α=cos²α−sin²α | Есть оба квадрата |
| cos2α=1−2sin²α | Известен синус |
| cos2α=2cos²α−1 | Известен косинус |
| tg2α=2tg α/(1−tg²α) | Тангенсы и знаменатель определены |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
cos 2α=cos²α−sin²α=1−2sin²α=2cos²α−1.
Тангенс и ограничения
Знаменатель не должен быть нулём. При tg α=±1 угол 2α попадает в точку, где тангенс не существует. Отдельно сохраняется условие существования tg α.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
tg α=12 даёт tg 2α=1/(34)=43.
Подумай и объясни
Если tg α=1, tg 2α…
Сверить рассуждение
Не определён. tg 2α=2tg α/(1−tg²α), если обе стороны определены.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
tg 2α=2tg α/(1−tg²α), если обе стороны определены.
Понижение степени
Эти равенства выражают квадраты через функцию удвоенного угла. При извлечении корня знак sin α или cos α всё равно определяется углом; из квадрата нельзя механически убрать корень.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Если cos 2α=12, то sin²α=14. Сам sin α может быть 12 или −12.
Разберём ошибку
Неверно Из sin²α=14 следует… — Только sin α=12
sin²α=(1−cos 2α)/2; cos²α=(1+cos 2α)/2.
Как рассуждать: Верный ответ: sin α=±12.
Главная мысль
sin²α=(1−cos 2α)/2; cos²α=(1+cos 2α)/2.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
sin 2α=2sin α cos α.
cos 2α=cos²α−sin²α=1−2sin²α=2cos²α−1.
tg 2α=2tg α/(1−tg²α), если обе стороны определены.
sin²α=(1−cos 2α)/2; cos²α=(1+cos 2α)/2.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.