ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Сумма и разность синусов
Обозначим полусумму u и полуразность v. Тогда α=u+v,β=u−v; при сложении формул суммы и разности часть слагаемых сокращается. Для разности синусов получаем 2cos u sin v.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin50°+sin10°=2sin30°cos20°=cos20°.
Маршрут рассуждения
- Сумма и разность синусов
sin α+sin β=2sin((α+β)/2)cos((α−β)/2).
- Сумма косинусов
cos α+cos β=2cos((α+β)/2)cos((α−β)/2).
- Разность косинусов
cos α−cos β=−2sin((α+β)/2)sin((α−β)/2).
- Решаем уравнение
После преобразования суммы в произведение разбирай каждый нулевой множитель.
Главная мысль
sin α+sin β=2sin((α+β)/2)cos((α−β)/2).
Сумма косинусов
Здесь оба множителя — косинусы. Полуразность можно поменять знаком без изменения результата, потому что косинус чётный.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
cos80°+cos40°=2cos60°cos20°=cos20°.
Сумма превращается в произведение
| Исходное выражение | Результат |
|---|---|
| sin α+sin β | 2sin((α+β)/2)cos((α−β)/2) |
| sin α−sin β | 2cos((α+β)/2)sin((α−β)/2) |
| cos α+cos β | 2cos((α+β)/2)cos((α−β)/2) |
| cos α−cos β | −2sin((α+β)/2)sin((α−β)/2) |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
cos α+cos β=2cos((α+β)/2)cos((α−β)/2).
Разность косинусов
Минус перед произведением важен. Если использовать полуразность β−α вместо α−β, внешний минус можно убрать. Эти две записи равносильны, но смешивать их нельзя.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
cos80°−cos40°=−2sin60°sin20°<0. Отрицательный знак согласуется с убыванием косинуса на [0;π].
Подумай и объясни
Внешний знак при полуразности α−β?
Сверить рассуждение
Минус. cos α−cos β=−2sin((α+β)/2)sin((α−β)/2).
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
cos α−cos β=−2sin((α+β)/2)sin((α−β)/2).
Решаем уравнение
Если выражение находится в знаменателе, его нули запрещены. В уравнениях не сокращай множитель, пока не проверил, может ли он равняться нулю.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin3x+sin x=2sin2x cos x=0. Получаем sin2x=0 или cos x=0; в этом примере вторая серия уже входит в x=πk/2.
Разберём ошибку
Неверно Корни разных серий могут совпадать? — Нет
После преобразования суммы в произведение разбирай каждый нулевой множитель.
Как рассуждать: Верный ответ: Да, повтор считать не нужно.
Главная мысль
После преобразования суммы в произведение разбирай каждый нулевой множитель.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
sin α+sin β=2sin((α+β)/2)cos((α−β)/2).
cos α+cos β=2cos((α+β)/2)cos((α−β)/2).
cos α−cos β=−2sin((α+β)/2)sin((α−β)/2).
После преобразования суммы в произведение разбирай каждый нулевой множитель.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.