ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Корень как решение уравнения
При чётном n отрицательное число не может быть n-й степенью действительного числа. При положительном a уравнение имеет два противоположных решения, при a=0 одно.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
У x⁴=81 решения 3 и −3. У x⁴=−81 действительных решений нет.
Маршрут рассуждения
- Корень как решение уравнения
Корень n-й степени из a — число x, для которого xⁿ=a.
- Арифметический корень
При чётном n символ ⁿ√a обозначает неотрицательный корень; a≥0.
- Нечётная степень
При нечётном n корень существует и единственен для любого действительного a.
- Корень из степени
При чётном n: ⁿ√(xⁿ)=|x|; при нечётном n: ⁿ√(xⁿ)=x.
Главная мысль
Корень n-й степени из a — число x, для которого xⁿ=a.
Арифметический корень
Знак радикала выбирает одно число. Поэтому для уравнения x²=a при a>0 ответ ±√a, но само выражение √a уже не содержит выбора знака.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
⁴√81=3. Запись ⁴√81=±3 неверна.
Когда корень называют арифметическим
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного a — неотрицательное число, n≥2. Это название применимо и к нечётному n: например, ³√8=2. Для отрицательного a нечётный корень существует, но арифметическим его не называют.
Радикал и уравнение не следует путать
| Запись | Ответ | Причина |
|---|---|---|
| √9 | 3 | Арифметический корень |
| x²=9 | −3 или 3 | Два решения |
| ³√(−8) | −2 | Нечётный корень |
| x²=−9 | Нет действительных корней | Квадрат неотрицателен |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При чётном n символ ⁿ√a обозначает неотрицательный корень; a≥0.
Нечётная степень
Нечётная степень сохраняет знак числа. Поэтому корень из отрицательного числа отрицателен. Обозначение ⁿ√a при нечётном n используется и для отрицательного a.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
³√(−125)=−5, потому что (−5)³=−125.
Подумай и объясни
³√(−8) равно…
Сверить рассуждение
−2. При нечётном n корень существует и единственен для любого действительного a.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При нечётном n корень существует и единственен для любого действительного a.
Корень из степени
Чётная степень стирает знак, а арифметический корень возвращает неотрицательное число. Нечётная степень знак не стирает. Это различие сохраняется и для выражений вместо x.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
√((x−2)²)=|x−2|. При x=1 результат 1, а не −1.
Разберём ошибку
Неверно √(x²) при любом x равно… — x
При чётном n: ⁿ√(xⁿ)=|x|; при нечётном n: ⁿ√(xⁿ)=x.
Как рассуждать: Верный ответ: |x|.
Главная мысль
При чётном n: ⁿ√(xⁿ)=|x|; при нечётном n: ⁿ√(xⁿ)=x.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Корень n-й степени из a — число x, для которого xⁿ=a.
При чётном n символ ⁿ√a обозначает неотрицательный корень; a≥0.
При нечётном n корень существует и единственен для любого действительного a.
При чётном n: ⁿ√(xⁿ)=|x|; при нечётном n: ⁿ√(xⁿ)=x.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.