ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Произведение и частное
Для нечётного n разрешены любые действительные a,b, а в частном b≠0. Проверяй обе части равенства: существование корня произведения ещё не гарантирует существование отдельных чётных корней.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
√((−2)(−8))=4, но √(−2)·√(−8) не является действительным выражением.
Маршрут рассуждения
- Произведение и частное
Для чётного n при a,b≥0: ⁿ√(ab)=ⁿ√a·ⁿ√b; для частного дополнительно b>0.
- Корень и степень
Для a≥0: (ⁿ√a)ᵐ=ⁿ√(aᵐ), где m — натуральное число.
- Корень из корня
Для a≥0: ᵐ√(ⁿ√a)=ᵐⁿ√a.
- Осторожно с сокращением показателя
Увеличивать показатели корня и подкоренной степени в одно число раз безопасно при неотрицательном основании.
Главная мысль
Для чётного n при a,b≥0: ⁿ√(ab)=ⁿ√a·ⁿ√b; для частного дополнительно b>0.
Корень и степень
Так можно сначала извлечь корень или сначала возвести в степень. Если основание может быть отрицательным, учитывай чётность и область определения каждого перехода.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
(³√8)²=2²=4; ³√(8²)=³√64=4.
Свойства с условиями
| Преобразование | При чётном n | При нечётном n |
|---|---|---|
| ⁿ√(ab)=ⁿ√a · ⁿ√b | a≥0, b≥0 | Любые a,b |
| ⁿ√(a/b)=ⁿ√a / ⁿ√b | a≥0, b>0 | b≠0 |
| ⁿ√(aⁿ) | |a| | a |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Для a≥0: (ⁿ√a)ᵐ=ⁿ√(aᵐ), где m — натуральное число.
Корень из корня
Показатели перемножаются, потому что последовательно выполненные степени m и n дают степень mn. Не заменяй вложенные корни сложением показателей.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
√(³√64)=√4=2; это также ⁶√64.
Подумай и объясни
Показатель корня из корня получают…
Сверить рассуждение
Умножением показателей. Для a≥0: ᵐ√(ⁿ√a)=ᵐⁿ√a.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Для a≥0: ᵐ√(ⁿ√a)=ᵐⁿ√a.
Осторожно с сокращением показателя
Механическое сокращение при отрицательных основаниях может изменить знак или область. Возвращайся к определению корня и проверяй значение.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
³√(−8)=−2, но ⁶√((−8)²)=2. Удвоение показателей здесь изменило результат.
Разберём ошибку
Неверно Можно ли без условий заменить ³√a на ⁶√(a²)? — Да
Увеличивать показатели корня и подкоренной степени в одно число раз безопасно при неотрицательном основании.
Как рассуждать: Верный ответ: Нет.
Главная мысль
Увеличивать показатели корня и подкоренной степени в одно число раз безопасно при неотрицательном основании.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для чётного n при a,b≥0: ⁿ√(ab)=ⁿ√a·ⁿ√b; для частного дополнительно b>0.
Для a≥0: (ⁿ√a)ᵐ=ⁿ√(aᵐ), где m — натуральное число.
Для a≥0: ᵐ√(ⁿ√a)=ᵐⁿ√a.
Увеличивать показатели корня и подкоренной степени в одно число раз безопасно при неотрицательном основании.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.