ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Выносим множитель
У чисел удобно использовать разложение на простые множители. У буквенного выражения условия на знак важны: √(a²b)=|a|√b при b≥0.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
³√54=³√(27·2)=3³√2. √(18x²)=3|x|√2.
Маршрут рассуждения
- Выносим множитель
Выдели внутри корня полную n-ю степень; при чётном n учитывай модуль.
- Подобные радикалы
Складывают коэффициенты только у одинаковых корней после упрощения.
- Рационализируем знаменатель
Домножай числитель и знаменатель на выражение, которое превращает знаменатель в рациональное число.
- Сравнение без округления
На неотрицательных числах возведение в натуральную степень сохраняет порядок.
Главная мысль
Выдели внутри корня полную n-ю степень; при чётном n учитывай модуль.
Подобные радикалы
Сначала вынеси полные степени; внешне разные корни могут стать подобными. Корень суммы не равен сумме корней.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
√8+√18=2√2+3√2=5√2. А √(4+9)=√13, не 5.
Узнаём способ преобразования
| Вид | Первый шаг | Пример |
|---|---|---|
| Большое число под корнем | Выделить полный квадрат | √72=6√2 |
| Сумма радикалов | Привести к подобным | √8+√18=5√2 |
| Корень в знаменателе | Домножить дробь | 1/√2=√22 |
| Сумма корней в знаменателе | Умножить на сопряжённое | 1/(√3+√2)=√3−√2 |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Складывают коэффициенты только у одинаковых корней после упрощения.
Рационализируем знаменатель
Для √a используй √a; для суммы двух квадратных корней — сопряжённую разность. Для кубических корней помогают формулы суммы и разности кубов.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
1/(√3+√2)=(√3−√2)/(3−2)=√3−√2. Для 1/³√2 домножение на ³√4 даёт ³√42.
Подумай и объясни
Сопряжённое к √3+√2 выражение?
Сверить рассуждение
√3−√2. Домножай числитель и знаменатель на выражение, которое превращает знаменатель в рациональное число.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Домножай числитель и знаменатель на выражение, которое превращает знаменатель в рациональное число.
Сравнение без округления
Для положительных корней разных показателей удобно привести сравнение к общей степени. Если числа разных знаков, сначала сравни знаки; не используй квадрат для сравнения двух отрицательных чисел без анализа.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Сравним √3 и ³√5: шестые степени равны 27 и 25, поэтому √3>³√5.
Разберём ошибку
Неверно Почему можно сравнить шестые степени здесь? — Степень всегда сохраняет порядок на ℝ
На неотрицательных числах возведение в натуральную степень сохраняет порядок.
Как рассуждать: Верный ответ: Оба числа положительны.
Главная мысль
На неотрицательных числах возведение в натуральную степень сохраняет порядок.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Выдели внутри корня полную n-ю степень; при чётном n учитывай модуль.
Складывают коэффициенты только у одинаковых корней после упрощения.
Домножай числитель и знаменатель на выражение, которое превращает знаменатель в рациональное число.
На неотрицательных числах возведение в натуральную степень сохраняет порядок.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.