ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Область допустимых значений
В уравнении √f(x)=g(x) дополнительно требуется g(x)≥0. Это не только ОДЗ выражений, но и необходимое условие равенства: левая часть неотрицательна.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
√(x+2)=x требует x≥0. Условие x≥−2 само по себе слабее.
Маршрут рассуждения
- Область допустимых значений
Для чётных корней подкоренные выражения неотрицательны; знаменатели ненулевые.
- Возводим в квадрат
√f(x)=g(x) равносильно f(x)=g²(x) вместе с g(x)≥0.
- Несколько корней и замена
Изолируй один радикал; после возведения в степень упрости и при необходимости повтори.
- Проверка и оценка
Сравнение знаков и монотонности иногда решает задачу раньше алгебры.
Главная мысль
Для чётных корней подкоренные выражения неотрицательны; знаменатели ненулевые.
Возводим в квадрат
При соблюдении второго условия неотрицательность f следует из полученного равенства. Если ограничения не были учтены, все найденные числа обязательно подставь в исходное уравнение.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
√(x+2)=x → x²−x−2=0 → x=2 или −1. Подходит 2, а −1 не подходит из-за знака.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
√f(x)=g(x) равносильно f(x)=g²(x) вместе с g(x)≥0.
Несколько корней и замена
При замене t=√f(x) запиши t≥0. Для нечётного корня возведение в нечётную степень не меняет равносильность над действительными числами.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
x−3√x+2=0: t=√x≥0, t²−3t+2=0. t=1 или 2, поэтому x=1 или 4.
Подумай и объясни
При t=√x нужно сохранить…
Сверить рассуждение
t≥0. Изолируй один радикал; после возведения в степень упрости и при необходимости повтори.
Почему появляется посторонний корень
1
√(x+6)=x требует x≥0
2
Возводим в квадрат: x²−x−6=0
3
Кандидаты 3 и −2
4
−2 не проходит исходное условие; ответ 3
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Изолируй один радикал; после возведения в степень упрости и при необходимости повтори.
Проверка и оценка
Если одна часть отрицательна, а другой чётный корень, равенство невозможно. После двух возведений в квадрат проверка особенно важна: каждый этап мог добавить кандидатов.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
√(x²+1)=−2 не имеет действительных решений, хотя квадратирование приводит к x²=3.
Разберём ошибку
Неверно √(x²+1)=−2 имеет… — Два решения
Сравнение знаков и монотонности иногда решает задачу раньше алгебры.
Как рассуждать: Верный ответ: Ноль решений.
Главная мысль
Сравнение знаков и монотонности иногда решает задачу раньше алгебры.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для чётных корней подкоренные выражения неотрицательны; знаменатели ненулевые.
√f(x)=g(x) равносильно f(x)=g²(x) вместе с g(x)≥0.
Изолируй один радикал; после возведения в степень упрости и при необходимости повтори.
Сравнение знаков и монотонности иногда решает задачу раньше алгебры.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.