ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Приращения
Изменение значения зависит и от начальной точки, и от величины шага. Δy не равно f(Δx): сначала вычисли новое значение и вычти старое.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для f(x)=x²,x₀=3,Δx=0,1: Δy=3,1²−3²=0,61.
Маршрут рассуждения
- Приращения
Δx=x−x₀; Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀).
- Средняя скорость изменения
Отношение Δy/Δx вычисляют при Δx≠0.
- Определение производной
f′(x₀)=lim при Δx→0 отношения [f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx, если конечный предел существует.
- Смысл и существование
Если координата движения s(t), мгновенная скорость v(t)=s′(t).
Главная мысль
Δx=x−x₀; Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀).
Средняя скорость изменения
Это наклон секущей между двумя точками графика. Для пути, зависящего от времени, отношение означает среднюю скорость на промежутке. Сравнивай одинаковые единицы измерения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для x² при x₀=3: Δy/Δx=(6Δx+Δx²)/Δx=6+Δx.
От средней скорости к мгновенной
| Величина | Запись | Смысл |
|---|---|---|
| Приращение аргумента | Δx | Небольшой шаг |
| Приращение функции | Δf=f(x₀+Δx)−f(x₀) | Изменение результата |
| Средняя скорость | Δf/Δx | Наклон секущей |
| Мгновенная скорость | lim Δf/Δx при Δx→0 | Производная f′(x₀) |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Отношение Δy/Δx вычисляют при Δx≠0.
Определение производной
Мы не делим на ноль: берём ненулевые шаги и смотрим, к какому числу стремятся отношения. Подходы справа и слева должны давать одно значение.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для x² отношение 2x₀+Δx стремится к 2x₀. Поэтому (x²)′=2x, а при x₀=3 производная 6.
Подумай и объясни
Производная x² в точке 3?
Сверить рассуждение
6. f′(x₀)=lim при Δx→0 отношения [f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx, если конечный предел существует.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
f′(x₀)=lim при Δx→0 отношения [f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx, если конечный предел существует.
Смысл и существование
Производная может быть отрицательной: координата уменьшается. Наличие значения функции не гарантирует производную. У |x| в нуле отношение справа 1, слева −1, поэтому производной нет.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для s(t)=t²+2t скорость в t=3 равна 2·3+2=8.
Разберём ошибку
Неверно Есть ли производная |x| в нуле? — Да, равна 0
Если координата движения s(t), мгновенная скорость v(t)=s′(t).
Как рассуждать: Верный ответ: Нет.
Главная мысль
Если координата движения s(t), мгновенная скорость v(t)=s′(t).
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Δx=x−x₀; Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀).
Отношение Δy/Δx вычисляют при Δx≠0.
f′(x₀)=lim при Δx→0 отношения [f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx, если конечный предел существует.
Если координата движения s(t), мгновенная скорость v(t)=s′(t).
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.