ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Базовые формулы и линейность
Постоянный множитель выносится: (Cu)′=Cu′. При отрицательном n исключён x=0. Производная константы ноль, потому что её приращение при любом шаге равно нулю.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
(3x²−5x+7)′=6x−5. Для x⁻¹ получаем −x⁻²=−1/x².
Маршрут рассуждения
- Базовые формулы и линейность
C′=0, x′=1, (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ для целого n≠0 на области функции; (u+v)′=u′+v′.
- Произведение
(uv)′=u′v+uv′.
- Частное
(u/v)′=(u′v−uv′)/v² при v≠0.
- Выбор удобной записи
Перед дифференцированием проверь, можно ли упростить функцию на её области.
Главная мысль
C′=0, x′=1, (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ для целого n≠0 на области функции; (u+v)′=u′+v′.
Произведение
Изменяются оба множителя, поэтому возникают два слагаемых. Можно предварительно раскрыть скобки, если это упрощает выражение. Два способа должны дать одинаковый результат.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
[x²(x+1)]′=2x(x+1)+x²=3x²+2x.
Карта правил дифференцирования
| Функция | Производная |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ, n∈ℤ, n≠0 | nxⁿ⁻¹ (на области функции) |
| Cu | Cu′ |
| u+v | u′+v′ |
| uv | u′v+uv′ |
| u/v, v≠0 | (u′v−uv′)/v² |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
(uv)′=u′v+uv′.
Частное
В числителе важен порядок вычитания; знаменатель возводится в квадрат. Перед применением иногда удобнее разделить каждое слагаемое числителя на знаменатель.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
[(x+1)/(x−1)]′=[(x−1)−(x+1)]/(x−1)²=−2/(x−1)², x≠1.
Подумай и объясни
Знаменатель в формуле производной частного?
Сверить рассуждение
v². (u/v)′=(u′v−uv′)/v² при v≠0.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
(u/v)′=(u′v−uv′)/v² при v≠0.
Выбор удобной записи
Не подставляй число до нахождения производной: производная функции в точке не равна производной постоянного числа f(x₀). Сначала получи f′(x), затем вычисли f′(x₀).
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для f(x)=x³ значение f(2)=8, а f′(2)=3·2²=12. Это разные величины.
Разберём ошибку
Неверно Как найти f′(2)? — Сначала вычислить f(2) и получить 0
Перед дифференцированием проверь, можно ли упростить функцию на её области.
Как рассуждать: Верный ответ: Найти производную, затем подставить 2.
Главная мысль
Перед дифференцированием проверь, можно ли упростить функцию на её области.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
C′=0, x′=1, (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ для целого n≠0 на области функции; (u+v)′=u′+v′.
(uv)′=u′v+uv′.
(u/v)′=(u′v−uv′)/v² при v≠0.
Перед дифференцированием проверь, можно ли упростить функцию на её области.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.