ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Касательная
Касательная проходит через (x₀;f(x₀)) и имеет найденный наклон. Поэтому её уравнение y=f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀). Свободный член обычно не равен f(x₀).
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
К y=x² в x₀=2: y=4+4(x−2)=4x−4.
Маршрут рассуждения
- Касательная
Угловой коэффициент касательной равен f′(x₀).
- Наклон и угол
Если касательная образует с положительным направлением Ox угол α, то tg α=f′(x₀).
- Возрастание и убывание
Если f′>0 на интервале, функция возрастает; если f′<0 — убывает.
- Таблица знаков
Найди нули производной и точки её неопределённости, затем исследуй знаки на промежутках области.
Главная мысль
Угловой коэффициент касательной равен f′(x₀).
Наклон и угол
Положительный наклон соответствует росту прямой слева направо, отрицательный — падению. Горизонтальная касательная имеет нулевой наклон. Геометрический угол определяй с учётом направления прямой.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Если f′(x₀)=1, угол наклона 45°. При наклоне −1 угол можно взять 135°.
Читаем наклон
| Производная | Касательная | Поведение на интервале |
|---|---|---|
| f′>0 | Наклонена вверх | Возрастание |
| f′<0 | Наклонена вниз | Убывание |
| f′=0 в одной точке | Горизонтальная | Нужна проверка соседних знаков |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Если касательная образует с положительным направлением Ox угол α, то tg α=f′(x₀).
Возрастание и убывание
Знак самой функции здесь не важен. Производная может обращаться в ноль в отдельных точках возрастающей функции: условие f′>0 достаточное, но не необходимое в каждой точке.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
y=x³ возрастает на ℝ, хотя f′(0)=0. Нулевая производная в одной точке не означает постоянство.
Подумай и объясни
f′(0)=0 обязательно означает экстремум?
Сверить рассуждение
Нет. Если f′>0 на интервале, функция возрастает; если f′<0 — убывает.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если f′>0 на интервале, функция возрастает; если f′<0 — убывает.
Таблица знаков
Запрещённые значения исходной функции нельзя включать в интервалы. Для исследования удобно отмечать стрелками рост и убывание под знаками производной.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
f=x²−4x: f′=2x−4. Слева от 2 знак минус, справа плюс: функция сначала убывает, затем возрастает.
Точка экстремума и значение экстремума
В принятом здесь определении в точке локального максимума значение функции больше значений во всех достаточно близких других точках; в точке минимума — меньше. При исследовании школьных функций ориентируйся на смену направления. Точка экстремума задаётся аргументом x₀, а значение — числом f(x₀). Для применения признака смены знака производной функция должна быть непрерывна в x₀.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Смена направления
У f(x)=x²−4x производная слева от 2 отрицательна, справа положительна. Непрерывная функция убывает, затем возрастает: x=2 — точка минимума, f(2)=−4 — минимальное значение.
Разберём ошибку
Неверно Как меняется x²−4x справа от 2? — Убывает
Найди нули производной и точки её неопределённости, затем исследуй знаки на промежутках области.
Как рассуждать: Верный ответ: Возрастает.
Главная мысль
Найди нули производной и точки её неопределённости, затем исследуй знаки на промежутках области.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Угловой коэффициент касательной равен f′(x₀).
Если касательная образует с положительным направлением Ox угол α, то tg α=f′(x₀).
Если f′>0 на интервале, функция возрастает; если f′<0 — убывает.
Найди нули производной и точки её неопределённости, затем исследуй знаки на промежутках области.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.