ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Определение через координаты
Так определения работают для любых действительных углов, включая отрицательные и углы больше оборота. Обе координаты лежат между −1 и 1.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
После поворота на π/2 точка (0;1): cos(π/2)=0, sin(π/2)=1.
Маршрут рассуждения
- Определение через координаты
cos α — абсцисса, sin α — ордината точки единичной окружности.
- Знаки по четвертям
В I четверти оба знака плюс; во II cos минус; в III оба минус; в IV sin минус.
- Симметрия и период
sin(−α)=−sin α; cos(−α)=cos α; период обоих 2π.
- Точные значения
Опорные углы 0, π/6, π/4, π/3, π/2 помогают вычислять значения без округления.
Главная мысль
cos α — абсцисса, sin α — ордината точки единичной окружности.
Знаки по четвертям
Мысленно проведи проекции точки на оси. Не определяй знак по тому, положителен ли сам угол: положительный поворот может закончиться в любой четверти.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
При α=7π/6 точка в III четверти: sin α=−12, cos α=−√32.
Опорные значения в первой четверти
| α | sin α | cos α |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| π/6 | 12 | √32 |
| π/4 | √22 | √22 |
| π/3 | √32 | 12 |
| π/2 | 1 | 0 |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
В I четверти оба знака плюс; во II cos минус; в III оба минус; в IV sin минус.
Симметрия и период
Отрицательный поворот отражает точку относительно Ox: x сохраняется, y меняет знак. Прибавление полного оборота возвращает ту же точку, поэтому сохраняет обе координаты.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin(−π/6)=−12; cos(−π/3)=12. sin(13π/6)=sin(π/6)=12.
Подумай и объясни
Какая функция чётная?
Сверить рассуждение
Косинус. sin(−α)=−sin α; cos(−α)=cos α; период обоих 2π.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
sin(−α)=−sin α; cos(−α)=cos α; период обоих 2π.
Точные значения
Значения для 30° и 60° выводятся из половины равностороннего треугольника, для 45° — из равнобедренного прямоугольного. Затем учитывай четверть и знак.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin(3π/4)=√22, cos(3π/4)=−√22. Модули равны, но знаки различны.
Разберём ошибку
Неверно cos(3π/4) равно… — √22
Опорные углы 0, π/6, π/4, π/3, π/2 помогают вычислять значения без округления.
Как рассуждать: Верный ответ: −√22.
Главная мысль
Опорные углы 0, π/6, π/4, π/3, π/2 помогают вычислять значения без округления.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
cos α — абсцисса, sin α — ордината точки единичной окружности.
В I четверти оба знака плюс; во II cos минус; в III оба минус; в IV sin минус.
sin(−α)=−sin α; cos(−α)=cos α; период обоих 2π.
Опорные углы 0, π/6, π/4, π/3, π/2 помогают вычислять значения без округления.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.