ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Отношения координат
В отличие от синуса и косинуса, эти отношения не ограничены числами −1 и 1. Чем меньше по модулю знаменатель при ненулевом числителе, тем больше модуль отношения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Для угла π/4 обе координаты √22, поэтому tg=ctg=1.
Маршрут рассуждения
- Отношения координат
tg α=sin α/cos α, ctg α=cos α/sin α.
- Области определения
Тангенс не определён при α=π/2+πk; котангенс — при α=πk.
- Знак, период, нечётность
tg и ctg положительны в I и III четвертях, отрицательны во II и IV; период π.
- Взаимная обратность
tg α·ctg α=1 только там, где определены обе функции.
Главная мысль
tg α=sin α/cos α, ctg α=cos α/sin α.
Области определения
Запрет возникает при нуле соответствующего знаменателя. При нулевом числителе и ненулевом знаменателе значение существует и равно нулю.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
tg 0=0, ctg 0 не определён. При π/2, наоборот, ctg=0, а tg не определён.
Две дроби — разные ограничения
| Функция | Смысл | Где не определена |
|---|---|---|
| tg α | y/x = sin α / cos α | α=π/2+πk |
| ctg α | x/y = cos α / sin α | α=πk |
| Обе функции | Период π | k∈ℤ |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Тангенс не определён при α=π/2+πk; котангенс — при α=πk.
Знак, период, нечётность
При полуобороте обе координаты меняют знак, поэтому отношение сохраняется. При замене угла на противоположный меняет знак только синус: обе функции нечётные на своих областях.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
tg(5π/4)=1; tg(−π/4)=−1. Период π короче периода синуса и косинуса.
Подумай и объясни
Наименьший положительный период tg x?
Сверить рассуждение
π. tg и ctg положительны в I и III четвертях, отрицательны во II и IV; период π.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
tg и ctg положительны в I и III четвертях, отрицательны во II и IV; период π.
Взаимная обратность
Нельзя применять тождество в точке, где хотя бы один множитель не существует. Для опорных углов удобно знать tg(π/6)=√33 и tg(π/3)=√3.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
Если tg α=2, то ctg α=12. Но из tg 0=0 нельзя получить значение ctg 0.
Разберём ошибку
Неверно Если tg α=2, ctg α равно… — 2
tg α·ctg α=1 только там, где определены обе функции.
Как рассуждать: Верный ответ: 12.
Главная мысль
tg α·ctg α=1 только там, где определены обе функции.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
tg α=sin α/cos α, ctg α=cos α/sin α.
Тангенс не определён при α=π/2+πk; котангенс — при α=πk.
tg и ctg положительны в I и III четвертях, отрицательны во II и IV; период π.
tg α·ctg α=1 только там, где определены обе функции.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.