ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Главное тождество
Точка единичной окружности удовлетворяет x²+y²=1. Подставим x=cos α,y=sin α. Знак квадрата не показывает знак самой функции — для него нужна четверть.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
cos α=−35 и α во II четверти: sin α=45. В III четверти при том же косинусе синус был бы −45.
Маршрут рассуждения
- Главное тождество
sin²α+cos²α=1 для любого α.
- Тождества с тангенсом
1+tg²α=1/cos²α при cos α≠0.
- Как доказывать тождество
Преобразуй одну часть или обе части к общему виду на общей области допустимости.
- Проверка результата
Подстановка удобного угла обнаруживает ошибку, но не доказывает общее тождество.
Главная мысль
sin²α+cos²α=1 для любого α.
Тождества с тангенсом
Раздели основное тождество на cos²α. Аналогично 1+ctg²α=1/sin²α при sin α≠0. Условия деления входят в утверждение, а не добавляются по желанию.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
При tg α=3: cos²α=1/(1+9)=110. Знак cos α пока неизвестен.
Выбираем нужное тождество
| Известно | Что искать | Связь |
|---|---|---|
| sin α | cos²α | 1−sin²α |
| cos α | sin²α | 1−cos²α |
| tg α | 1/cos²α | 1+tg²α |
| ctg α | 1/sin²α | 1+ctg²α |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
1+tg²α=1/cos²α при cos α≠0.
Как доказывать тождество
Замени tg и ctg отношениями sin и cos, вынеси множители, используй разность квадратов. Не сокращай слагаемые и не дели на выражение, которое может быть нулём.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
(1−cos²α)/sin α=sin²α/sin α=sin α при sin α≠0. Исходное ограничение сохраняется.
Подумай и объясни
После сокращения запрет sin α≠0…
Сверить рассуждение
Сохраняется. Преобразуй одну часть или обе части к общему виду на общей области допустимости.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Преобразуй одну часть или обе части к общему виду на общей области допустимости.
Проверка результата
Равенство в одной точке может быть случайным. В доказательстве каждый переход должен действовать для всех углов общей ОДЗ. Записывай ограничения до сокращения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin²α+cos²α=1 доказывается окружностью; проверка при α=0 лишь подтверждает один частный случай.
Разберём ошибку
Неверно Достаточен один удачный числовой пример? — Да
Подстановка удобного угла обнаруживает ошибку, но не доказывает общее тождество.
Как рассуждать: Верный ответ: Нет.
Главная мысль
Подстановка удобного угла обнаруживает ошибку, но не доказывает общее тождество.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
sin²α+cos²α=1 для любого α.
1+tg²α=1/cos²α при cos α≠0.
Преобразуй одну часть или обе части к общему виду на общей области допустимости.
Подстановка удобного угла обнаруживает ошибку, но не доказывает общее тождество.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.