§ 5. Функции y = sin x и y = cos x. Их свойства и графики

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Один период

На одном обороте отметь пять опорных точек и затем повторяй рисунок через 2π. Синус нечётный, косинус чётный. Аргумент графика измеряется в радианах.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Разберём на примере

Для sin x при x=0,π/2,π,3π/2,2π значения 0,1,0,−1,0. У cos x это 1,0,−1,0,1.

Маршрут рассуждения

Один период
У sin x и cos x область ℝ, значения [−1;1], наименьший положительный период 2π.
Нули и крайние значения
sin x=0 при x=πk; cos x=0 при x=π/2+πk.
Промежутки монотонности
sin x возрастает на [−π/2+2πk;π/2+2πk] и убывает на [π/2+2πk;3π/2+2πk].
Амплитуда и период волны
У y=A sin(kx+m)+b при A≠0,k≠0 амплитуда |A|, период 2π/|k|, значения [b−|A|;b+|A|].

Главная мысль

У sin x и cos x область ℝ, значения [−1;1], наименьший положительный период 2π.

Нули и крайние значения

Максимумы и минимумы повторяются через полный период. Синус достигает 1 при π/2+2πk и −1 при −π/2+2πk. Косинус достигает 1 при 2πk и −1 при π+2πk.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Разберём на примере

Точка π — нуль синуса, но точка минимума косинуса.

Синус и косинус: что совпадает, что различается

Свойство	sin x	cos x
Область	ℝ	ℝ
Значения	[−1;1]	[−1;1]
Период	2π	2π
Симметрия	Нечётная	Чётная
Нули	πk	π/2+πk
Максимумы	π/2+2πk	2πk

ИССЛЕДУЙ САМ

Меняй параметры и объясняй результат

Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

sin x=0 при x=πk; cos x=0 при x=π/2+πk.

Промежутки монотонности

Косинус возрастает на [−π+2πk;2πk] и убывает на [2πk;π+2πk]. Читай график слева направо; положительное значение функции не означает возрастание.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Разберём на примере

На (0;π/2) обе функции положительны, но синус растёт, а косинус убывает.

Подумай и объясни

На (0;π/2) cos x…

Сверить рассуждение

Убывает. sin x возрастает на [−π/2+2πk;π/2+2πk] и убывает на [π/2+2πk;3π/2+2πk].

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

sin x возрастает на [−π/2+2πk;π/2+2πk] и убывает на [π/2+2πk;3π/2+2πk].

Амплитуда и период волны

Множитель A меняет высоту, k — горизонтальный масштаб. Сдвиг по x равен −m/k, а не просто −m. Если A=0 или k=0, функция постоянна и наименьшего положительного периода нет.

РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ

Разберём на примере

y=3sin(2x)+1 имеет период π и значения [−2;4].

Разберём ошибку

Неверно Период sin(2x)? — 2π

У y=A sin(kx+m)+b при A≠0,k≠0 амплитуда |A|, период 2π/|k|, значения [b−|A|;b+|A|].

Как рассуждать: Верный ответ: π.

Главная мысль

У y=A sin(kx+m)+b при A≠0,k≠0 амплитуда |A|, период 2π/|k|, значения [b−|A|;b+|A|].

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Математический тренажёр

Закрепляем способ решения

Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

У sin x и cos x область ℝ, значения [−1;1], наименьший положительный период 2π.

sin x=0 при x=πk; cos x=0 при x=π/2+πk.

sin x возрастает на [−π/2+2πk;π/2+2πk] и убывает на [π/2+2πk;3π/2+2πk].

У y=A sin(kx+m)+b при A≠0,k≠0 амплитуда |A|, период 2π/|k|, значения [b−|A|;b+|A|].

Объясни, что означает каждый шаг решения.

Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.

Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.