ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Тангенс
На каждом промежутке (−π/2+πk;π/2+πk) тангенс непрерывно возрастает от сколь угодно больших по модулю отрицательных значений к положительным. Запрещённые точки на графике отсутствуют.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
На (−π/2;π/2) график проходит через (0;0); у границ растёт по модулю без ограничения.
Маршрут рассуждения
- Тангенс
D(tg) исключает π/2+πk; E(tg)=ℝ; период π.
- Котангенс
D(ctg) исключает πk; E(ctg)=ℝ; период π.
- Асимптоты и симметрия
Обе функции нечётные; вертикальные асимптоты проходят через запрещённые аргументы.
- Преобразования
У tg(kx) и ctg(kx), k≠0, период π/|k|.
Главная мысль
D(tg) исключает π/2+πk; E(tg)=ℝ; период π.
Котангенс
На каждой ветви (πk;π+πk) котангенс убывает. Его нули π/2+πk. У обеих функций нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
ctg(π/4)=1, ctg(π/2)=0, ctg(3π/4)=−1.
Одна ветвь каждого графика
| Свойство | tg x | ctg x |
|---|---|---|
| Главный промежуток | (−π/2;π/2) | (0;π) |
| Поведение | Возрастает | Убывает |
| Нуль на ветви | 0 | π/2 |
| Период | π | π |
| Значения | ℝ | ℝ |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
D(ctg) исключает πk; E(ctg)=ℝ; период π.
Асимптоты и симметрия
Асимптота помогает описать приближение графика, но не является частью графика. Нельзя подставить запрещённый аргумент и назвать результат бесконечным числом.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
При x=π/2 тангенс не определён. Запись tg(π/2)=∞ не является значением функции в этой точке.
Подумай и объясни
Асимптота — это…
Сверить рассуждение
Прямая, к которой приближается график. Обе функции нечётные; вертикальные асимптоты проходят через запрещённые аргументы.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Обе функции нечётные; вертикальные асимптоты проходят через запрещённые аргументы.
Преобразования
После сдвига меняются и нули, и асимптоты. Для их нахождения решай условие на внутренний аргумент. Внешняя прибавка меняет высоту графика, но не область определения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
У tg(2x) асимптоты x=π/4+πk/2, период π/2.
Разберём ошибку
Неверно Период tg(2x)? — π
У tg(kx) и ctg(kx), k≠0, период π/|k|.
Как рассуждать: Верный ответ: π/2.
Главная мысль
У tg(kx) и ctg(kx), k≠0, период π/|k|.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
D(tg) исключает π/2+πk; E(tg)=ℝ; период π.
D(ctg) исключает πk; E(ctg)=ℝ; период π.
Обе функции нечётные; вертикальные асимптоты проходят через запрещённые аргументы.
У tg(kx) и ctg(kx), k≠0, период π/|k|.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.