ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Зачем выбирать промежуток
Для однозначности ограничивают исходную функцию промежутком монотонности. Обратная функция возвращает главное значение угла, а не все решения уравнения.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin(π/6)=sin(5π/6)=12, но arcsin(12)=π/6.
Маршрут рассуждения
- Зачем выбирать промежуток
Уравнение sin x=a имеет много решений, а arcsin a должен быть одним числом.
- Арксинус и арккосинус
arcsin a∈[−π/2;π/2], arccos a∈[0;π], при −1≤a≤1.
- Арктангенс и арккотангенс
arctg a∈(−π/2;π/2), arcctg a∈(0;π), a∈ℝ.
- Композиция и ограничения
sin(arcsin a)=a при a∈[−1;1], но arcsin(sin x)=x только на главном промежутке.
Главная мысль
Уравнение sin x=a имеет много решений, а arcsin a должен быть одним числом.
Арксинус и арккосинус
Арксинус выбирает угол из правой полуокружности, арккосинус — из верхней. Для arccos отрицательное число соответствует тупому главному углу.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
arcsin(−12)=−π/6; arccos(−12)=2π/3.
Какой угол выбирает обратная функция
| Запись | Допустимое число | Главный угол |
|---|---|---|
| arcsin a | −1≤a≤1 | [−π/2;π/2] |
| arccos a | −1≤a≤1 | [0;π] |
| arctg a | a∈ℝ | (−π/2;π/2) |
| arcctg a | a∈ℝ | (0;π) |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
arcsin a∈[−π/2;π/2], arccos a∈[0;π], при −1≤a≤1.
Арктангенс и арккотангенс
Здесь аргумент обратной функции может быть любым действительным числом. Границы промежутков исключены, поскольку исходные tg и ctg в нужных крайних точках не определены.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
arctg(−1)=−π/4; arcctg(−1)=3π/4; arcctg 0=π/2.
Подумай и объясни
arcctg 0 равно…
Сверить рассуждение
π/2. arctg a∈(−π/2;π/2), arcctg a∈(0;π), a∈ℝ.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
arctg a∈(−π/2;π/2), arcctg a∈(0;π), a∈ℝ.
Композиция и ограничения
Если угол вне выбранного промежутка, найди угол внутри него с тем же значением функции. Удобны симметрия и периодичность. Не сокращай названия функций как множители.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
arcsin(sin(5π/6))=arcsin(12)=π/6.
Разберём ошибку
Неверно arcsin(sin(5π/6)) равно… — 5π/6
sin(arcsin a)=a при a∈[−1;1], но arcsin(sin x)=x только на главном промежутке.
Как рассуждать: Верный ответ: π/6.
Главная мысль
sin(arcsin a)=a при a∈[−1;1], но arcsin(sin x)=x только на главном промежутке.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Уравнение sin x=a имеет много решений, а arcsin a должен быть одним числом.
arcsin a∈[−π/2;π/2], arccos a∈[0;π], при −1≤a≤1.
arctg a∈(−π/2;π/2), arcctg a∈(0;π), a∈ℝ.
sin(arcsin a)=a при a∈[−1;1], но arcsin(sin x)=x только на главном промежутке.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.