ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Уравнения sin x=a и cos x=a
Для sin x=a: x=(−1)ᵏarcsin a+πk. Равносильны две серии x=arcsin a+2πk и x=π−arcsin a+2πk. Для cos x=a: x=±arccos a+2πk. Во всех формулах k∈ℤ.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin x=12: x=π/6+2πk или x=5π/6+2πk.
Маршрут рассуждения
- Уравнения sin x=a и cos x=a
При |a|>1 решений нет; при |a|≤1 используй главные значения и период.
- Особые значения, tg и ctg
tg x=a даёт x=arctg a+πk; ctg x=a даёт x=arcctg a+πk.
- Составной аргумент и замена
Сначала реши относительно внутреннего аргумента, затем вырази x.
- Произведение и однородность
При произведении, равном нулю, разбирают каждый множитель; перед делением на cos x проверяют cos x=0.
Главная мысль
При |a|>1 решений нет; при |a|≤1 используй главные значения и период.
Особые значения, tg и ctg
Для sin x=0 удобнее x=πk, для cos x=0 — x=π/2+πk. При sin x=±1 или cos x=±1 две общие ветви могут совпасть; не считай совпадающий корень дважды.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
tg x=1: x=π/4+πk. ctg x=0: x=π/2+πk.
Общие решения; везде k∈ℤ
| Уравнение | Решение | Условие |
|---|---|---|
| sin x=a | x=(−1)ᵏarcsin a+πk | |a|≤1 |
| cos x=a | x=±arccos a+2πk | |a|≤1 |
| tg x=a | x=arctg a+πk | a∈ℝ |
| ctg x=a | x=arcctg a+πk | a∈ℝ |
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй параметры и объясняй результат
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
tg x=a даёт x=arctg a+πk; ctg x=a даёт x=arcctg a+πk.
Составной аргумент и замена
В уравнении sin(2x)=a делится на 2 вся правая часть серии, включая период. Квадратное уравнение относительно sin x решай заменой t=sin x и отбрось t вне [−1;1].
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
2sin²x−3sin x+1=0: t=1 или 12. Обе величины допустимы; решаем два простейших уравнения.
Подумай и объясни
При делении серии на 2 период…
Сверить рассуждение
Тоже делится на 2. Сначала реши относительно внутреннего аргумента, затем вырази x.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Сначала реши относительно внутреннего аргумента, затем вырази x.
Произведение и однородность
Уравнение a sin²x+b sin x cos x+c cos²x=0 после проверки cos x=0 можно свести к квадратному относительно tg x. Для корней на отрезке подставь ограничения в каждую серию.
РАЗБЕРЁМСЯ НА ПРИМЕРЕ
Разберём на примере
sin x cos x=0: sin x=0 или cos x=0, вместе x=πk/2. Деление на cos x потеряло бы половину решений.
Разберём ошибку
Неверно Чем опасно деление на cos x без проверки? — Появятся все действительные числа
При произведении, равном нулю, разбирают каждый множитель; перед делением на cos x проверяют cos x=0.
Как рассуждать: Верный ответ: Можно потерять корни.
Главная мысль
При произведении, равном нулю, разбирают каждый множитель; перед делением на cos x проверяют cos x=0.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
При |a|>1 решений нет; при |a|≤1 используй главные значения и период.
tg x=a даёт x=arctg a+πk; ctg x=a даёт x=arcctg a+πk.
Сначала реши относительно внутреннего аргумента, затем вырази x.
При произведении, равном нулю, разбирают каждый множитель; перед делением на cos x проверяют cos x=0.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.