§ 1. Пространственные фигуры — Математика (геометрия), 10 класс

Разбираемся в теме

Основные пункты параграфа

Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.

Многогранники

Геометрические фигуры делятся на плоские и пространственные в зависимости от того, все или не все точки фигуры принадлежат одной плоскости. Раздел геометрии, в котором изучаются плоские фигуры, называется планиметрией, а раздел, в котором изучаются пространственные фигуры, — стереометрией.

Пространственную фигуру приходится изображать на плоскости листа или доски так, чтобы рисунок создавал то же впечатление, что и сама фигура. При этом невидимые линии делают штриховыми. Представление пространственной фигуры на рисунке называют изображением фигуры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Многогранник и его элементы

Многогранник — тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Эти многоугольники называются гранями многогранника, их вершины — вершинами многогранника, а стороны — рёбрами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

ПОСМОТРИ НА РИСУНОК

Куб: грани, рёбра, вершины, диагонали

Как читать: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Рёбра DA, DC и DD₁ закрыты гранями — они штриховые. Вершины A и C₁ не лежат в одной грани, поэтому AC₁ — диагональ куба; вершины A и C лежат в грани ABCD, поэтому AC — диагональ грани, а не многогранника.

Сколько диагоналей у куба?

Четыре: AC₁, BD₁, CA₁, DB₁. Для каждой вершины в другой грани не лежит только противоположная вершина; 8 вершин дают 8 концов, а каждая диагональ имеет два конца: 8 : 2 = 4.

Подумай и объясни

Можно ли назвать многогранником тело, ограниченное поверхностью шара или боковой поверхностью и основаниями цилиндра?

Сверить рассуждение

Нет. Многогранник ограничен только плоскими многоугольниками. Сфера и боковая поверхность цилиндра — кривые поверхности, их нельзя составить из плоских многоугольников. Шар и цилиндр — тела вращения.

Главная мысль

Многогранник ограничен плоскими многоугольниками — гранями; диагональ многогранника соединяет две вершины, не лежащие в одной грани; невидимые линии изображают штрихом.

Призма и параллелепипед

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Призма

Призмой называется многогранник, две грани которого — равные n-угольники, а остальные n граней — параллелограммы.

Равные грани-многоугольники — основания призмы, остальные грани — боковые грани. Рёбра боковых граней, не принадлежащие основаниям, — боковые рёбра. По числу сторон основания различают треугольную, четырёхугольную, пятиугольную и т. д. призмы.

Совокупность боковых граней образует боковую поверхность призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней.

ВИДЫ ПРИЗМ

Прямая призма — призма, боковые грани которой являются прямоугольниками: её боковые рёбра перпендикулярны рёбрам основания. Призма наклонная, если боковые рёбра не перпендикулярны рёбрам основания.

Прямая призма называется правильной, если её основания — правильные многоугольники.

Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом. Прямой параллелепипед, основания которого — прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом; все его грани — прямоугольники. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, — его измерения. Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом; все грани куба — равные квадраты.

ПОСМОТРИ НА РИСУНОК

Прямая и наклонная призмы

Как читать: изображая прямую призму, её боковые рёбра проводят вертикально — грани ABB₁A₁, BCC₁B₁, CAA₁C₁ прямоугольники. У наклонного параллелепипеда боковые грани — параллелограммы, а боковые рёбра не перпендикулярны рёбрам основания. Чтобы изобразить призму, строят основание, из его вершин проводят параллельные прямые, откладывают на них равные отрезки и соединяют концы.

ЗАДАЧА 1 ИЗ УЧЕБНИКА

Боковая поверхность прямой призмы

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник со сторонами AB = 4 см и BC = 5 см, боковое ребро BB₁ = 6 см. Боковые грани — прямоугольники: S_ABB₁A₁ = 4 · 6 = 24 (см²), S_BCC₁B₁ = 5 · 6 = 30 (см²). Противолежащие грани равны, поэтому S_бок = 2 · (24 + 30) = 108 (см²).

Тот же результат даёт правило: боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра её основания и бокового ребра: S_бок = P_осн · h = (4 + 5 + 4 + 5) · 6 = 108 (см²). Почему: каждая боковая грань — прямоугольник высотой h, а сумма их оснований — это периметр основания.

ИССЛЕДУЙ САМ

Правильная призма: площадь и элементы

Меняй число сторон основания, сторону и боковое ребро. Сначала предскажи ответ, потом проверь вычисления.

Показать вычисления и пояснение

Главная мысль

Призма — два равных n-угольника и n параллелограммов; боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания и бокового ребра.

Пирамида

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого — многоугольник, а остальные являются треугольниками с общей вершиной.

Многоугольник называют основанием пирамиды, треугольные грани — боковыми гранями, их общую вершину — вершиной пирамиды. В записи пирамиды первая буква обычно соответствует её вершине: в пирамиде TABCDE вершина T, основание ABCDE. По числу сторон основания различают треугольную, четырёхугольную, пятиугольную и т. д. пирамиды.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Правильная пирамида и апофема

Пирамида, основание которой — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий её вершину с центром основания, перпендикулярен любой прямой, проведённой в плоскости основания через этот центр, называется правильной.

Высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины пирамиды, называется апофемой пирамиды.

ПОСМОТРИ НА РИСУНОК

Правильная пирамида SABCD

Как читать: ABCD — квадрат, O — его центр, SO перпендикулярен прямым основания, проходящим через O. SH — апофема: высота грани SAB, H — середина AB. Отрезок OH, соединяющий центр основания с основанием апофемы, — радиус окружности, вписанной в основание; для квадрата OH = AB : 2.

ТЕОРЕМА 1

У правильной пирамиды равны её: а) боковые грани; б) апофемы.

Дано: QA₁A₂…Aₙ — правильная пирамида, O — центр основания. Доказать: боковые грани равны; апофемы равны.

Доказательство. а) Треугольники QOA₁ и QOA₂ прямоугольные, имеют общий катет QO и равные катеты OA₁ = OA₂ (радиусы описанной около основания окружности). Поэтому они равны и QA₁ = QA₂; так же доказывается, что все боковые рёбра равны QA₁. Боковые грани — равнобедренные треугольники с равными боковыми сторонами, а их основания равны как стороны правильного многоугольника. Значит, боковые грани равны по трём сторонам.

б) У равных треугольников равны и высоты, проведённые из вершины Q, — это и есть апофемы. ∎

ТЕОРЕМА 2

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра её основания и апофемы.

Доказательство. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники с равными апофемами QE₁ = QE₂ = … = QEₙ. Поэтому S = 12A₁A₂ · QE₁ + 12A₂A₃ · QE₁ + … + 12AₙA₁ · QE₁ = A₁A₂ + A₂A₃ + … + AₙA₁2 · QE₁ = p · a, где p — полупериметр основания, a — апофема. ∎

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: S_полн = S_бок + S_осн.

ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ

Главная мысль

У правильной пирамиды равны боковые рёбра, боковые грани и апофемы, а S_бок = p · a — полупериметр основания, умноженный на апофему.

Тела вращения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Тела вращения

Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Неподвижная сторона — ось цилиндра; противолежащая ей сторона — образующая, она описывает боковую поверхность; две другие стороны описывают равные круги — основания цилиндра.

Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, который называют осью конуса. Второй катет описывает круг — основание конуса; неподвижная вершина, не лежащая в основании, — вершина конуса; гипотенуза — образующая, она описывает боковую поверхность.

Шаром называется тело, полученное вращением круга вокруг своего диаметра. Окружность при этом вращении описывает поверхность, которую называют сферой.

ПОСМОТРИ НА РИСУНОК

Цилиндр, конус, шар

Как читать: основания цилиндра и конуса изображают эллипсами, невидимую половину эллипса — штрихом. Ось вращения проходит через центры оснований цилиндра, через вершину и центр основания конуса, через центр шара.

Что вращаем и что получаем

Тело	Что вращают	Вокруг чего	Образующая
Цилиндр	прямоугольник	вокруг стороны	сторона, противолежащая оси
Конус	прямоугольный треугольник	вокруг катета	гипотенуза
Шар	круг	вокруг диаметра	— (поверхность — сфера)

Разберём ошибку

Неверно Если прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращать вокруг гипотенузы, получится конус.

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета. При вращении вокруг гипотенузы получается тело из двух конусов с общим основанием.

Как рассуждать: сначала найди, вокруг какой стороны идёт вращение, и сравни с определением.

Главная мысль

Цилиндр, конус и шар получаются вращением прямоугольника вокруг стороны, прямоугольного треугольника вокруг катета и круга вокруг диаметра.

Применяем знания

Решаем самостоятельно

12 задач из учебника (номера указаны в условии). Делай рисунок в тетради, записывай решение, затем введи ответ. Если в ответе есть корень, введи число, о котором спрашивают (например, коэффициент k в записи k√3).

Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.

Задачи на закрепление

Закрепляем способ решения

Новые варианты задач по параграфу: элементы призм и пирамид, площади поверхностей, тела вращения.

Тренажёр

Призма, пирамида или тело вращения?

Определи фигуру по описанию из учебника. После ответа появится объяснение.

Думай как математик

Считаем и доказываем

Рассуждай сам, потом сверь рассуждение с образцом.

№ 20. Верно ли, что: а) количество вершин любой призмы — число чётное; б) количество рёбер любой призмы — число, кратное трём?

Сверить рассуждение

Оба утверждения верны. У n-угольной призмы n вершин в нижнем основании и n в верхнем — всего 2n, число чётное. Рёбер: n в каждом основании и n боковых — всего 3n, число кратно трём.

Докажи, что боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания и бокового ребра.

Сверить рассуждение

Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, у каждого одна сторона — ребро основания aᵢ, другая — боковое ребро h (все боковые рёбра равны). Sбок = a₁h + a₂h + … + aₙh = (a₁ + a₂ + … + aₙ)h = P · h.

Найди ошибку: «У правильной пирамиды все рёбра равны, ведь она правильная».

Сверить рассуждение

Теорема 1 говорит о равенстве боковых граней (значит, боковых рёбер) и апофем. Рёбра основания равны между собой как стороны правильного многоугольника, но боковое ребро может быть длиннее или короче ребра основания. Например, у правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 10 и апофемой 12 боковое ребро равно 13.

СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ

Шесть выводов

Пространственная фигура — не все её точки лежат в одной плоскости; на изображении невидимые линии делают штриховыми.

Призма — два равных n-угольника и n параллелограммов; у прямой призмы S_бок = P_осн · h.

У правильной пирамиды равны боковые рёбра, боковые грани и апофемы; S_бок = p · a.

Цилиндр, конус и шар — вращение прямоугольника вокруг стороны, прямоугольного треугольника вокруг катета, круга вокруг диаметра.

Полная поверхность равна боковой плюс площади оснований: у призмы оснований два, у пирамиды одно.

У n-угольной призмы 2n вершин, 3n рёбер и n + 2 грани; у n-угольной пирамиды n + 1 вершина, 2n рёбер и n + 1 грань.

Проверь себя

Тест: 10 вопросов

Один верный ответ в каждом вопросе. За верный ответ — 1 балл, максимум — 10.